Poruchové oblasti železobetonových konstrukcí (TP 1.13.1)

Autoři: Ing. Jiří Šmejkal, CSc., prof. Ing. Jaroslav Procházka, CSc.

Stav: kontrola 2022, vydání 2015

Anotace:
V dnešní praxi se navrhují železobetonové konstrukce podle evropské normy ČSN EN 1992–1-1:2006. Často se vytvářejí komplexní prostorové modely celých konstrukcí. Při navrhování výztuže však prostorový model nedokáže vystihnout skutečné chování v jednotlivých konstrukčních detailech zvláště proto, že nebývá splněna Bernoulliova podmínka zachování rovinnosti průřezu po deformaci. Proto se vyztužení konstrukční detailů (poruchových oblastí nebo též oblastí nespojitosti) musí provádět následně zvlášť metodami lokální analýzy. Nejznámější metoda pro lokální analýzu je metoda náhradní příhradoviny. V základní normě ČSN EN 1992-1-1:2006 se uvádí pouze obecné zásady pro navrhování a posuzování konstrukcí, nejsou však zde podrobně definovány postupy návrhu poruchových oblastí. Problematika poruchových oblastí je podrobně specifikována v odborné, obvykle zahraniční literatuře. Proto jsou v pomůcce uvedeny základní i alternativní postupy pro návrh nejběžnějších poruchových oblastí.

Metoda náhradní příhradoviny je přibližná inženýrská metoda, která umožňuje bezpečný návrh poruchové oblasti poměrně jednoduchými prostředky.

Upozornění k textu

OBSAH

1 ANALÝZA KONSTRUKCE

Při analýze konstrukce jako celku je důležitá idealizace konstrukce, tj. volba výpočetního modelu. Jednotlivé prvky konstrukce lze idealizovat prvky prutovými (pomocí jejich střednice), prvky plošnými (pomocí jejich rovinné nebo zakřivené střednicové plochy). Při tvorbě modelu konstrukce jako celku tyto prvky vzájemně spojujeme a vytváříme globální model nosné konstrukce. Tento model může být jednorozměrný, dvojrozměrný, popřípadě trojrozměrný.

Při tvorbě globálního modelu je velmi důležitá volba vhodného spojení mezi prvky v uzlových bodech a výběr podmínek podepření. Spojení prvků a podepření prvků se pohybují mezi dvěma limitními stavy, které lze zjednodušeně označit jako prosté podepření a vetknutí. U monolitických železobetonových konstrukcí obvykle uvažujeme vetknutí mezi jednotlivými konstrukčními prvky. U prefabrikovaných konstrukcí se většinou snažíme s přihlédnutím k jednoduchosti realizace o kloubové připojení (pevný nebo posuvný kloub). Pokud uvažujeme vetknutí konce prvku, je nutné, aby uložení neumožňovalo pootočení. Pokud v reálné konstrukci nelze nulové pootočení zajistit, přesune se příslušná část ohybového momentu z vetknutí do pole. Při nerespektování chování reálné konstrukce by mohlo být vyztužení prvku nedostatečné. Pro modelování vzájemného spojení konstrukce s podpěrami je nutné uvážit, zda je vhodné vazbu modelovat, nebo ji naopak zanedbat, a pak její vliv pokrýt vloženou přídavnou výztuží.

Při celkové analýze konstrukce lze stanovit rozdělení vnitřních sil, napětí, deformací a reakcí konstrukce. Celková analýza je obvykle nutná pro stanovení, popřípadě ověření rozměrů a výztuže, celkové tuhosti a prostorové stability konstrukce. Pro jednotlivé konstrukční detaily a dílčí oblasti je nutná navazující lokální analýza.

Při řešení globálního i lokálního modelu konstrukce je důležitá kromě idealizace geometrie i uvažovaná idealizace chování konstrukce. Chování konstrukce lze v zásadě idealizovat následovně:

• lineárně pružné chování;
• lineárně pružné chování s omezenou redistribucí;
• plastické chování;
• nelineární chování.

Lineárně pružná analýza prvků je založena na teorii pružnosti, lze ji použít jak v mezních stavech únosnosti, tak v mezních stavech použitelnosti. Při lineárně pružné analýze se předpokládá:

• průřezy nejsou porušeny trhlinami;
• závislost napětí a poměrného přetvoření je lineární;
• moduly pružnosti mají průměrné hodnoty.

Pro stanovení účinků teplotních deformací, sedání podpor a smršťování v mezních stavech únosnosti, lze předpokládat redukované tuhosti odpovídající průřezům s trhlinami bez uvažování tahového zpevnění, avšak s přihlédnutím k účinkům dotvarování. V mezních stavech použitelnosti má být uvažován postupný vývoj trhlin.

Při lineárně pružné analýze s omezenou redistribucí se uvažuje vliv případné možné redistribuce silových účinků. Lineární analýzu s omezenou redistribucí lze použít při analýze nosných prvků při ověřování mezních stavů únosnosti, kde silové účinky stanovené lineárně pružnou analýzou lze redistribuovat za předpokladu, že výsledné rozdělení silových účinků zůstane v rovnováze s působícím zatížením. Redistribuce se nemá používat v případech, pokud nelze spolehlivě určit schopnost plastických pootočení.

Metody založené na plastické analýze mohou být použity pouze při ověřování v mezních stavech únosnosti. Pro vytvoření předpokládaného mechanismu porušení musí být dostatečná duktilita kritických oblastí (duktilita prvku je schopnost plastického přetvoření charakterizovaného nevratnými deformacemi a disipací energie). Plastická analýza má být založena buď na metodě se spodním ohraničením (statická metoda), nebo na metodě s horním ohraničením (kinematická metoda).  

Účinky předcházejících zatížení lze obecně při plastické analýze zanedbat a předpokládat monotónní nárůst intenzity zatížení.

1.1 IDEALIZACE KONSTRUKCE

V současné době se pro celkovou analýzu nosného systému používají dvourozměrné, popřípadě třírozměrné modely konstrukce. Většinou ve výpočtech používáme dvourozměrné modely, pokud však požadujeme vystihnout prostorové chování konstrukce jako celku, používáme třírozměrné modely.

Při globální analýze vycházíme z předpokladu zachování rovinnosti průřezů před a po přetvoření. Tento předpoklad však neplatí ve všech oblastech modelované konstrukce. Proto nosné železobetonové konstrukce rozdělujeme na oblastí B a D – viz obr. 1.1.

Obr. 1.1  Poruchové oblasti – rozdělení konstrukce na B a D oblasti

Oblasti B (někdy nazývané Bernoulliovy někdy nosníkové oblasti) představují části konstrukce, kde platí předpoklad zachování rovinnosti průřezu podle Bernoulliovy hypotézy. V těchto částech konstrukce lze poměrně jednoduchým výpočtem získat věrohodné výsledky chování konstrukce. Oblasti D jsou oblasti s diskontinuitami (tzv. poruchové oblasti). Jedná se o oblasti, kde nelze předpokládat lineární rozdělení poměrného přetvoření po průřezu. Jedná se například o oblasti (obr. 1.2), ve kterých působí lokální zatížení, nebo se mění náhle rozměr průřezu, a podobně. Podle hypotézy St. Venanta lokální porucha vymizí ve vzdálenosti rovné výšce přilehlého průřezu.

Obr. 1.2  Příklady poruchových oblastí (D oblastí)

Při návrhu výztuže v mezních stavech únosnosti v poruchových oblastech se používají modely náhradní příhradoviny (obr 1.3). Tyto modely lze použít i pro prvky, u nichž je předpokládáno lineární rozdělení poměrného přetvoření po průřezu. Při posuzování mezních stavů použitelnosti lze rovněž použít modely náhradní příhradoviny, pokud je však zaručena přibližná kompatibilita prutových modelů (zvláště poloha a směr důležitých tlakových diagonál a poloha a směr výztuže – táhel).

Obr. 1.3  Příklady modelů náhradní příhradoviny

Modely náhradní příhradoviny (strut and tie models obr 1.3) se skládají z tlačených prutů, tažených prutů (přenášení pouze normálovou sílu) a spojovacích uzlů – styčníků. Síly v prvcích prutového systému – náhradní příhradoviny se stanovují z podmínky zachování rovnováhy s působícím zatížením. Poloha a směr táhel modelu náhradní příhradoviny má souhlasit s odpovídající výztuží.

Styčníky jsou oblasti, ve kterých jsou transformovány síly mezi tlačenými prvky, z tlačených prvků do tažených prvků nebo také do reakcí (obr. 1.3). Styčníky jsou klasifikovány podle působících sil. Ve styčníku s označením CCC působí nejméně tři tlakové betonové pásy – vzpěry. Ve styčníku s označením CTC působí nejméně dva tlakové betonové pásy a jeden tažený pás představovaný výztuží. Ve styčníku CTT působí nejméně jeden tlakový betonový pás a nejméně dva tažené pásy působící v různých směrech.

1.2 TLAČENÉ PRUTY – BETONOVÉ VZPĚRY (Struts)

Tlačené pruty jsou základním stavebním prvkem modelů náhradní příhradoviny při analýze poruchových oblastí. Tlačené pruty mohou mít různý tvar (obr. 1.4). Rozlišujeme základní tři typy betonových vzpěr podle změny jejich šířky po délce [7]. Tlačené pruty přenášejí pouze osový tlak. Příklady tlačených prutů jsou na obr. 1.5.

Obr. 1.4  Základní tvary betonových vzpěr

Obr. 1.5  Příklady betonových vzpěr

U betonových diagonál se napětí se stanoví podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{N_\text{c}}{d_\text{c}\cdot b}
\end{gathered}

(1.1)

kde je

N_c … normálová síla v tlačené diagonále;

d_c … tloušťka tlačené diagonály;

b … šířka tlačené diagonály.

Tlačené betonové pruty náhradní příhradoviny se v [1] rozlišují podle působícího příčného napětí. Uvažují se tlačené pruty s působícím příčným tlakovým napětím, bez působícího příčného napětí a s příčným tahovým napětím. Návrhové napětí na mezi únosnosti pro tlačené betonové pruty v oblasti s příčným tlakovým napětím, nebo bez příčného tlakového napětí, se stanoví ze vztahu 1.2 (obr 1.6a):

\begin{gathered}
S_\text{Rd,max}=f_\text{cd}
\end{gathered}

(1.2)

V oblastech s víceosým tlakem lze předpokládat vyšší návrhovou pevnost.

Návrhové napětí na mezi únosnosti pro betonové tlačené pruty v oblastech s trhlinami je nutné redukovat. Pokud se nepoužije přesnější výpočet, lze návrhovou pevnost uvažovat podle vztahu (1.3) (obr 1.6b):

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6\cdot\nu'\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(1.3)

\begin{gathered}
\text{kde}\space\space\nu'\space\space\text{lze vyjádřit}\space\space\nu'=1-f_\text{ck}{/}250{.}\text{ Hodnota}\space\space f_\text{ck}\space\space\text{je v MPa.}
\end{gathered}

(1.4)

Obr. 1.6 Betonové vzpěry z hlediska působení příčného napětí

Pokud není betonová diagonála po celé délce namáhána příčným tlakovým napětím (viz obr. 1.6a) je nutné zvážit velikost vznikajících příčných tahů v tlačených betonových diagonálách, které jsou schematicky zobrazeny na obr. 1.7.

Obr. 1.7 Příčné tahové síly v tlakovém poli vzpěry

Příčnou tahovou sílu tlačené betonové diagonály stanovíme podle následujících vztahů (1.5) a (1.6). Tahová síla T působí ve čtvrtinách oblasti s úplnou nespojitostí (obr. 1.7b). Staticky nutná výztuž, která má odolávat příčným tahovým silám T v betonových vzpěrách, může být rozptýlena po příslušné délce oblasti nespojitosti.

a) Pro částečně nespojité oblasti, kde b ≤ H/2 a b_ef = b podle obr. 1.7a:

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\frac{b-a}{b}F
\end{gathered}

(1.5)

b) Pro úplně nespojité oblasti, kde b > H/2 a b_ef = 0,5H + 0,65a, h = H/2 podle obr. 1.7b:

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\Bigg(1-0{,}7\frac{a}{h}\Bigg)F
\end{gathered}

(1.6)

Vztahy vycházejí ze závěrů experimentů uvedených v [7]. V jiných předpisech lze nalézt i vztah:

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\Bigg(1-0{,}7\frac{a}{H}\Bigg)F
\end{gathered}

[22], který představuje lineární řešení poruchové oblasti tlačené betonové vzpěry podle obr. 1.7c. Tento vztah dává větší příčné tahy; v konstrukcích pozemních staveb jsou rozdíly mezi vztahy do 10 % (obr. 1.8 a obr. 1.9).

Obr. 1.8 Závislost vznikajícího příčného tahu na tlakové síle F_c v betonové vzpěře a geometrii oblasti (a, H)

Obr. 1.9 Závislost vznikajícího příčného tahu T na tlakové síle F_c a geometrii oblasti (a, H)

Pro konstrukce pozemních staveb, nebo jiné drobné konstrukce, lze stanovit sílu představující vznikající příčné tahy podle následujícího vztahu:

\begin{gathered}
T\le0{,}22F
\end{gathered}

(1.7)

Příčnou tahovou sílu může přenést beton, pokud jsou tahová napětí menší než 0,5f_ctd. Pokud jsou tahová napětí v rozmezí 0,5f_ctd až f_ctd, musí být oblast minimálně vyztužena konstrukční výztuží podle [1]. Při větších tahových napětích musí veškeré tahy přenést navržená výztuž.

Při tvorbě modelu náhradní příhradoviny lze využít skutečnosti, že diagonální betonové vzpěry jsou obecně rovnoběžné s očekávaným průběhem trhlin v betonu daného prvku. Vzpěry by neměly křižovat trhliny, jinak by model náhradní příhradoviny neodpovídal skutečnému chování betonu a výztuže v oblasti.

Únosnost betonové vzpěry s trhlinami (rovnoběžnými s podélnou osou vzpěry) je definována vztahem (1.3). Uvedené však platí pro alespoň konstrukčně vyztužené oblasti. Pokud není oblast s betonovou vzpěrou ve směru působení příčných tahů alespoň konstrukčně vyztužena, musí veškeré příčné tahy převzít beton. V tomto případě se doporučuje omezit únosnost tlačené betonové vzpěry na 60 % únosnosti vycházející ze vztahu (1.3).

Při zatížení osamělým břemenem vzniká při horním líci oblast s tahy T₂ – viz obr. 2.1. Velikost tahů lze zjednodušeně uvažovat hodnotou T₂ ≈ 0,10F.

1.2.1 Příklady tlačených vzpěr

Příklady tlačených prutů jsou na obr. 1.5. U betonových diagonál se napětí stanoví podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{N_\text{c}}{d_\text{c}\cdot b}
\end{gathered}

kde je

N_c … normálová síla v tlačené diagonále;

d_c … tloušťka tlačené diagonály;

b … šířka tlačené diagonály.

Pro prvky s rovnoběžnými tlačenými betonovými vlákny podle (obr. 1.5), lze napětí v šikmé betonové vzpěře vyjádřit vztahem:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{q}{b\cdot\sin^2\theta}
\end{gathered}

Pro vzpěry s vějířovitými tlačenými vlákny lze napětí vyjádřit podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{q_\text{h}\cdot e}{b\cdot\sin^2\theta_1\cdot e'}\cong\frac{q_\text{h}}{b\cdot\sin^2\theta_1}
\end{gathered}

kde je

e … tloušťka betonové vzpěry měřená v ose horního tlačeného pasu modelu náhradní příhradoviny;

e´ … tloušťka betonové vzpěry v dolním líci horního tlačeného pasu;

q_h … koncentrované zatížení (například pod ložiskem nebo styčnou deskou) působící na tloušťce e betonové vzpěry v kN/m;

b … šířka vzpěry (obvykle šířka nosníku);

θ₁ … úhel sklonu tlakové diagonály (betonové vzpěry).

Příklad stanovení šířky šikmé betonové vzpěry podle obr. 1.11

\begin{gathered}
d_\text{c2}=a\cdot\sin\theta_2+d\cdot\cos\theta_2
\end{gathered}

1.2.2 Odvození vztahů pro částečnou a plně nespojitou oblast

Síla F působící na délce a se rozloží do dvou shodných částí F₁ = F/2. Síly působí ve vzdálenosti a/2. Při částečně nespojité oblasti (pro oblast D) platí b ≤ H/2, h = b, b_ef = b podle obr. 1.7. Svislá délka šikmé vzpěry je b/2. Tlak vzpěr se rozloží na šířku b. Pro sklon tlačené diagonály podle modelu náhradní příhradoviny platí:

\begin{gathered}
\cot\theta=\frac{(0{,}5b-0{,}5a)/2}{0{,}5b}=\frac{b-a}{2b}
\end{gathered}

Po dosazení zatížení F vyjádříme tahovou sílu T podle vztahu:

\begin{gathered}
T=F_1\cot\theta=\frac{1}{4}\frac{b-a}{b}F\text{, viz vztah (1.7).}
\end{gathered}

Pro úplnou nespojitost platí b > h = 0,5H a b_ef = 0,5H + 0,65a podle obr. 1.7c:

\begin{gathered}
\cot\theta=\frac{0{,}5\cdot b_\text{eff}}{0{,}5h}\frac{(0{,}5\cdot(0{,}5H+0{,}65a)-0{,}5a)/2}{0{,}25H}=\frac{(0{,}25H+0{,}325a-0{,}5a)}{0{,}5\cdot0{,}25H}\\
\\
\cot\theta=\frac{(0{,}5h-0{,}175a)}{0{,}5\cdot0{,}5h}=\frac{1}{2}\bigg(1-0{,}35\frac{a}{h}\bigg)\\
\\
T=F_1\cot\theta=\frac{1}{4}\bigg(1-0{,}35\frac{a}{h}\bigg)F=\frac{1}{4}\bigg(1-0{,}7\frac{a}{H}\bigg)F
\end{gathered}

Podle závěrů experimentů prof. Schlaicha [7] je přesnější řešení podle vztahu:

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\bigg(1-0{,}7\frac{a}{H}\bigg)^2F=\frac{F}{4}\bigg(1-1{,}4\frac{a}{H}+0{,}49\frac{a^2}{H^2}\bigg)
\end{gathered}

kde člen:

\begin{gathered}
0{,}49\frac{a^2}{H^2}
\end{gathered}

lze vůči ostatním členům v předchozím výrazu zanedbat. Zanedbání je ve prospěch bezpečnosti (vychází větší tah).

Po úpravě dostaneme výraz uváděný v normě ČSN EN 1992-1-1 [1] viz (1.8):

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\bigg(1-0{,}7\frac{a}{h}\bigg)F
\end{gathered}

Z obr. 1.8 a obr. 1.9 je patrné, že pro konstrukce pozemních staveb lze provést zjednodušení. Podle obr. 1.8 lze přibližnou hodnotu příčného tahu definovat jako T ≈ 0,22 F. To platí pro oblasti, kde šířka a vzpěry (v místě opření vzpěry ve styčníku) je poměrně malá ve srovnání s délkou vzpěry H. Hodnota poměru a/H = 0,10 představuje u konstrukcí pozemních staveb obvykle maximální hodnotu. Podle obr. 1.9 hodnota vznikajících příčných tahů klesá s rostoucím poměrem a/H. Pokud se betonová vzpěra výrazně nerozšiřuje a ≈ b_ef, nejsou vznikající příčné tahy velké [7]. Pro konstrukce pozemních staveb, nebo jiné drobné konstrukce, lze vztah zjednodušit:

\begin{gathered}
T\le0{,}22F
\end{gathered}

1.3 TAŽNÉ PRVKY – TÁHLA (Ties)

Táhlo v modelu náhradní příhradoviny představuje výztuž. Táhlo může být tvořeno i několika vrstvami výztužných prutů. Šířka táhla se stanoví tak, že ke krajním prutům se připočítá tloušťka betonové krycí vrstvy, nebo polovina vzdálenosti mezi další výztuží. Výztuž musí být vždy odpovídajícím způsobem zakotvena ve styčníku. Při návrhu táhla se uvažuje dosažení meze kluzu výztuže v táhle před tlakovým porušením betonové vzpěry. Tahové síly v betonu se až na výjimky zanedbávají (betonová táhla jsou někdy uvažována například u rámových rohů, ozubů desek a podobně).

Při návrhu táhla je nutné vždy zohlednit jeho skutečnou šířku. Obvykle se uvažuje celá teoretická šířka táhla. Obvykle není vhodné zkoncentrovat táhlo pouze do místa teoretické osy táhla podle modelu náhradní příhradoviny, protože model představuje pouze náhradu skutečného přenosu vnitřních sil v oblasti. Koncetrovaná táhla se uvažují u líce změn průřezů nebo prostupů, v ostatních případech se výztuž táhla rovnoměrně rozděluje po celé šířce táhla. Šířku táhla můžeme stanovit podle ČSN EN 1992-1-1:2006 hodnotou 2,5 ∙ (h – d).

1.4 STYČNÍKY (Joints)

Styčníky v modelech náhradní příhradoviny představují oblasti styku táhel a vzpěr. Styčníky jsou betonové. Všechny síly působící ve styčníku musí být v rovnováze. Styčníky uvažujeme ve spojích prutů náhradní příhradoviny, v místech působení soustředěných zatížení, v podporách a v ohybech výztužných prutů.

Obr. 1.10 Styčník s tlačenými diagonálami CCC

Obr. 1.11 Příklad styčníku CCC

Při posouzení styčníku je rozhodující stanovení jeho velikosti. U styčníku s tlačenými diagonálami (vícerým tlakem) vycházíme z předpokladu, že ve styčníku je dosaženo únosnosti betonu v tlaku (CCC – obr. 1.10). Dále se předpokládá stejné napětí v celé oblasti styčníku (Mohrovy kružnice). Oblast styčníku se nazývá hydrostatická uzlová – styčníková zóna. U styčníku s táhly (CTC a CTT) je velikost styčníku dána délkou táhla, na které se síla z táhla přenese do styčníku – ostatních prutů soustavy. Tím se rozšiřuje oblast styčníku (ve srovnání s CCC); nazýváme ji rozšířená styčníková zóna. Na obr. 1.12 je oblast hydrostatické uzlové zóny zobrazena tmavší barvou a rozšířená uzlová oblast označené světlejší barvou. Rozšířená uzlová zóna je tvořena oblastí s tlakovým napětím od betonových vzpěr a od reakce. Tlakové napětí napomáhá přenosu sil z jedné vzpěry do druhé nebo do táhla představovaného výztuží.

Obr. 1.12  Styčník s tlačenými diagonálami a táhlem v jednom směru CTC

Protože beton je jen omezeně plasticky deformovatelný, systém vnitřních sil musí být stanoven tak, aby v žádné části oblasti nebyla překročena mezní deformace. Pro stanovení optimálního modelu náhradní příhradoviny je nejlepší vycházet z pružné analýzy oblasti nejlépe pomocí MKP. Ze stanovených pružných vnitřních sil je potom možné vykonstruovat model náhradní příhradoviny. Do modelu je nutno vhodně zakomponovat vyztužení prvku – táhla. Betonové vzpěry u nepřímého uložení se musí opírat o zakotvenou výztuž táhla. Obvykle výztuž táhla obepíná smyčkou styčník CTC nebo CTT.

Ze zkušeností se ukazuje, že není nutné přesně sledovat pružný tok vnitřních sil v mezním stavu únosnosti. Nejjednodušším příkladem je příhradový model pro návrh smykové výztuže, který připouští uvažovat základní sklon tlačeného betonového pásu pod úhlem 45° až 63° od neutrální osy.

Návrhové hodnoty pro tlaková napětí na mezi únosnosti ve styčnících lze určit následovně:

a) Styčníky s tlakovými silami (CCC), ve kterých nejsou kotvena táhla podle [1] – obr. 1.10:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=1{,}0\cdot \nu'\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(1.8)

kde je

σ_{Rd, max} … maximální napětí, které může působit na hranách styčníku a ν‚ je dáno vztahem (1.4).

b) Styčníky s tlakovými i tahovými silami s táhly kotvenými v jednom směru podle (CTC) a podle [1] – obr. 1.12:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85\cdot\nu'\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(1.9)

kde je

σ_{Rd, max} … maximální napětí a ν‚ viz vztah (1.4).

Typickým představitelem styčníku CTC je místo uložení nosníku. Idealizovaný model styčníku je na obr. 1.12.

Obr. 1.13 Příklady styčníků CTC

c) Styčníky s tlakovými i tahovými silami a táhly kotvenými ve více směrech (CTT) podle [1].

Nejčastěji se vyskytuje styčník CTT v rámových rozích (obr. 1.14) se záporným působením ohybového momentu [31]. Napětí σ_{Rd, max} se stanoví podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}75\cdot\nu'\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(1.10)

kde ν‚ viz vztah (1.4).

Obr. 1.14 Styčník s minimálně jednou tlačenou diagonálou a táhly ve dvou směrech CTT

Obr. 1.15 Příklad styčníku CTT

Hodnotu návrhového tlakového napětí lze zvýšit o 10 %, pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek podle [1]:

• je zaručen trojosý tlak;
• všechny úhly mezi tlačenými pruty a táhly jsou ≥ 55;
• výztuž je umístěna v několika vrstvách;
• pohyb styčníku je spolehlivě omezen uspořádáním v uložení nebo třením.

Pokud je známé rozdělení tlaků do všech tří směrů u trojose tlačených styčníků, zvětšené návrhové napětí se omezuje maximálním napětím podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}\le3{,}0\cdot\nu'\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(1.11)

kde ν‚ viz vztah (1.4). 

1.4.1 Příklady řešení styčníků

Typickým představitelem styčníku CCT je místo uložení nosníku. Idealizovaný model styčníku je na obr. 1.12. Pokud výztuž není jen v jedné vrstvě, je vhodné uvažovat postupný přenos sil do táhla – viz obr. 1.13. Pro nepřímé uložení je nutné uvažovat opření vzpěry ve styčníku do oblasti uzavřené táhlem – třmínky. Tím se nám výrazně posouvá poloha styčníku od líce prvku.

V obr. 1.13a [16] lze stanovit napětí v šikmé betonové vzpěře šířky b podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{A}{b\cdot\sin\theta_1\cdot(a_1\cdot\sin\theta_1+u\cdot\sin\theta_1)}
\end{gathered}

Pokud budeme uvažovat postupný přenos namáhání do táhla podle obr. 1.13b [16], napětí v betonové vzpěře se vyjádří podle vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{A}{b\cdot a_1\sin^2\theta_1}
\end{gathered}

Při vějířovité betonové vzpěře podle obr. 1.13ac [16], je namáhání v místě styku vzpěry a táhla:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{A}{b\cdot\sin^2\theta_1\cdot[a_1+0{,}5u(\cot\theta-\cot\theta_2)]}
\end{gathered}

Pokud se uvažuje postupný přenos sil do táhla podle obr. 1.13b a obr. 1.13c, dochází k prodloužení styčníku o délku ø. Toto prodloužení přispívá k délce, na které se musí táhlo dostatečně zakotvit. Při parabolickém tvaru hranice styčníku lze délku x stanovit:

\begin{gathered}
x=\frac{1}{4}\Bigg(\frac{a_2}{\cos\theta_1}+u\cdot\tan\theta_1-a_1\Bigg)
\end{gathered}

pro zakotvení táhla je k dispozici délka l = a₁ + 0,5x – c

kde je

a₁ … celková šířka tlačeného betonového pásu;

a₂ … šířka šikmé betonové;

u … šířka táhla;

c … betonová krycí vrstva prutů táhla;

θ₁ … úhel střednice betonové vzpěry;

θ₂, θ … viz obr. 1.17 – úhly okrajů vějířovité vzpěry na okraji styčníku;

x … posun okraje styčníku – viz obr. 1.13.

Styčníky CTT

Na obr. 1.15 je podrobný model pro přenos sil z táhla reprezentovaného třmínky do tlačené betonové vzpěry. Pro přenos můžeme použít model z obr. 1.15. Část tlakové síly vzpěry je opřena přímo do táhla a zbylá část se opírá až za táhlem a vytváří podružnou tlačenou vzpěru opírající se o táhlo z druhé strany. To se projeví prodloužením kotevní délky táhla o Δa (obr. 1.15). Délka prodloužení kotevní délky je závislá především na úhlu sklonu vzpěry. Pokud posuneme styčník níže, lze použít druhý model podle obr. 1.14. Tím však dostaneme excentricitu v modelu náhradní příhradoviny – styčník se prodlužuje ve směru působící síly.

Kotvení výztuže (táhel) ve styčnících s tlakovými a tahovými silami uvažujeme od okraje styčníku. Například při kotvení nad podporou začíná kotvení u vnitřního líce podpory. Pro kotevní délku táhla je k dispozici celá délka styčníku. Zakotvení výztuže lze provést i za styčníkem.

1.4.2 Příklady řešení nejčastějších styčníků

Je dána geometrie a₁ a a₂ a sklon tlačené diagonály θ₃.

Koncové uložení předepnutých nosníků

Posouzení

\begin{gathered}
\sigma_\text{c1}=\frac{C_1}{a_1\cdot b}\le\sigma_\text{Rd,max}\\\\
\sigma_\text{c2}=\frac{C_2}{a_2\cdot b}\le\sigma_\text{Rd,max}\\\\
\sigma_\text{c3}\le\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

Napětí σ_c3 lze vypočítat

\begin{gathered}
\sigma_\text{c3}=\frac{C_3}{a_3\cdot b}\space\text{ s }\space a_3=a_1\sin\theta_3+a_2\sin\theta_3
\end{gathered}

nebo

\begin{gathered}
\sigma_\text{C3}=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2\cdot(a_2/a_1)^2}{\sigma_1+\sigma_2\cdot(a_2/a_1)^2}
\end{gathered}

nebo

\begin{gathered}
\sigma_\text{c3}=\frac{C_1}{(a_1\sin^2\theta_3+a_2\sin\theta_3\cdot\cos\theta_3)\cdot b}
\end{gathered}

Je dána geometrie a₁ a sklon tlačených diagonál θ₂ a θ₃

Hydrostatická zóna

\begin{gathered}
\sigma_\text{c0}=\sigma_\text{c1}=\sigma_\text{c2}=\sigma_\text{c3}\le\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

Například osamělé břemeno, uložení stěny, uložení konzoly

\begin{gathered}
a_0=\frac{a_1}{\tan\theta_2+\tan\theta_3}\\\\
\sigma_\text{c1}=\frac{C_1}{a_1\cdot b}\le\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

Napětí ve styčníku

\begin{gathered}
\sigma_\text{c0}=\frac{C_0}{a_0\cdot b}\le\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

Je dána geometrie a₁ a sklon tlačené diagonály θ₃.

Hodnota a₂ se stanoví z únosnosti vzpěry v tlaku

\begin{gathered}
a_\text{c}=\frac{C_2}{\sigma_\text{Rd,max}\cdot b}
\end{gathered}

Posouzení

\begin{gathered}
\sigma_\text{c1}=\frac{C_1}{a_1\cdot b}\le\sigma_\text{Rd,max}\\\\
\sigma_\text{c2}=\frac{C_2}{a_2\cdot b}\le\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

Posouzení napětí σ_c3 a σ_c4 vyplývají z rovnováhy ve styčníku

Je doporučeno síly C₃ a C₄ složit a řešit jako předchozí styčník

Příkladem je vnitřní podpěra stěnového nosníku

Je doporučeno síly C₂ a C₃ a C₄ a C₅ složit a řešit jako styčník CCT se třemi betonovými vzpěrami

Styčník CTC

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

Styčník CTC

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

Styčník CTC

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

Styčník CTC

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

Styčník CTT

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

Styčník CTT

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

Styčník CTT

Délka styčníku je dána kotevní délkou táhla

Nutná konstrukční příčná výztuž

1.5 TVORBA MODELŮ NÁHRADNÍ PŘÍHRADOVINY

Tvorba modelů náhradní příhradoviny bývá často založena také na empirických zkušenostech, popřípadě na podrobném nelineárním modelování D-oblastí. Pro zjednodušení jsou základní pravidla uvedena v normě [1] a další literatuře například v [8], [13], [16], [18], [20] atd. Předpokládá se, že tlakové síly přenáší betonové vzpěry a tahové síly přenáší betonářská výztuž. Základy modelování D-oblastí vycházejí z výzkumných prací prof. Schlaicha publikovaných v roce 1984 [38]. Postupně byla pak tato metoda rozvíjena a ověřena řadou experimentů. Podrobněji je o tvorbě modelů pojednáno v následujících kapitolách.

Při tvorbě modelu náhradní příhradoviny se doporučuje postupovat následovně:

• nalézt reakce v modelované části konstrukce;
• přechod D-oblasti do B-oblasti musí být plynulý bez jakýchkoliv skokových změn;
• rozdělení zatížení a nalezení vnitřních sil – působící napětí nahradit výslednicemi, nahradit asymetrická napětí dvojicí sil, definovat model náhradní příhradoviny soustavou vzpěr a táhel. Při definování jednotlivých prvků je nutné vždy zvážit polohu skutečného vyztužení sledované části konstrukce, včetně zakotvení výztuže v oblasti styčníků.

Předpoklady pro řešení modelů náhradní příhradoviny

• v táhlech je dosaženo meze kluzu výztuže před vyčerpáním pevnosti betonových vzpěr;
• síly ve vzpěrách a táhlech jsou jen osové;
• tahové síly v betonu jsou většinou zanedbány (kromě soudržnosti, ta musí být vždy uvažována);
• ve všech styčnících musí být zajištěna rovnováha;
• výztuž táhel se plně aktivuje po vzniku trhlin v betonu;
• k redistribuci vnitřních sil dochází především po vzniku trhlin v betonové části průřezu;
• vzpěry jsou obvykle rovnoběžné s očekávaným směrem trhlin vznikajících v důsledku příčných tahových sil v tlačené betonové části průřezu.

Pro omezení šířky trhlin D-oblastí je nutné

• při povrchu oblasti vložit minimálně konstrukční ortogonální výztuž s plochou nejméně A_s ≥ 0,003A_c při obou površích;
• maximální vzdálenost výztužných prutů má být menší než 250 mm.

Je nutné si uvědomit, že modely náhradní příhradoviny jsou tzv. inženýrské modely, které poměrně jednoduchým způsobem umožňují provést bezpečný návrh poruchové oblasti. Při řešení oblasti nelineárními metodami, dostaneme přesnější řešení, které je však výrazně náročnější. Přesné nelineární řešení se liší od modelů náhradní příhradoviny především v tom, že uvažuje tah v betonové části průřezu do vzniku trhliny. 

2 JEDNODUCHÉ MODELY

2.1 LOKÁLNÍ PŮSOBENÍ OSAMĚLÉHO BŘEMENE

Působí-li na povrch betonového prvku jedno nebo více soustředěných zatížení vznikají v přilehlé betonové oblasti tahová a tlaková napětí. Největší tahové napětí vzniká pod soustředěným břemenem blízkosti povrchu, kde lze připustit jen velmi úzké trhlinky, neboť by se změnila napjatost celé roznášecí oblasti. Hlavně však by to mohlo ovlivnit místa těsně pod soustředěným břemenem, kde by se snížila pevnost betonu v tlaku, neboť by se omezil vliv víceosé napjatosti. Při vnesení břemen do prvku vzniká typická poruchová oblast, kde se musí dbát hlavně na to, aby výztuž přenesla tahové síly vznikající často blízko u povrchu. Proto se při návrhu výztuže vychází jednak z napjatosti roznášecí oblasti, která leží přímo pod soustředěným břemenem, jednak z napjatosti poruchové oblasti, jejíž rozměry jsou závislé na rozměrech prvku (lze předpokládat, že tato lokální porucha vymizí ve vzdálenosti rovné většímu rozměru průřezu). Při zjednodušeném řešení lze vycházet z příhradových modelů, kde pomocí rozkladu sil, lze stanovit výztuž v této poruchové oblasti.

Působí-li na povrch betonového prvku na styčné ploše A_c0 soustředěné zatížení vyvozené návrhovou tlakovou silou F_Ed a, není-li splněna podmínka (2.1), pak je třeba posoudit roznášecí oblast z hlediska možného porušení:

\begin{gathered}
|F_\text{Ed}|\le A_\text{c0}\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(2.1)

kde je

F_ed … tlaková síla;

f_cd … návrhová pevnost betonu v tlaku;

A_c0 …zatížená plocha.

Při působení osamělého břemene na betonový prvek může dojít k následujícím porušením (viz obr. 2.1):

• Při působení soustředěného tlakového zatížení F_Ed na povrchu betonového prvku může dojít k rozdrcení betonu ve styčné spáře mezi dosedací plochou břemene a betonem. Tento stav většinou nepostihují modely náhradní příhradoviny, způsob řešení je uveden na následujících stránkách nebo podrobněji v [40].
• Ze styčné plochy se tlakové napětí roznáší do prvku na tzv. roznášecí plochu, jejíž těžiště se nalézá na přímce zatížení (těžiště styčné a roznášecí plochy se nalézají na společné normále k povrchu prvku). Oblast mezi zatíženou plochou a roznášecí plochou nazýváme roznášecí oblastí. Při roznášení tlakového napětí betonem může dojít k roztržení roznášecí oblasti v důsledku příčných tahů v betonu.

Poznámka:
Roztržení roznášecí oblasti je nutné uvažovat v obou směrech – v příčném a v podélném směru viz obr. 2.1. Pokud má v příčném směru roznášecí oblast konstantní šířku, lze u železobetonových konstrukcí běžných pozemních staveb zjednodušeně uvažovat příčné tahy hodnotou 0,25F_Ed.

• Pokud tlakové napětí se má roznést do průřezu prvku, kde je napětí rozděleno lineárně, a jehož těžiště neleží na přímce zatížení, pak vzniká u tohoto prvku poruchová oblast, ve které mohou vznikat tahová a tlaková napětí. Lze předpokládat, že tato lokální porucha vymizí ve vzdálenosti rovné většímu rozměru průřezu (srovnej – délka poruchové oblasti). Pokud však na celém povrchu působí řada břemen přibližně stejné velikosti, je tato vzdálenost menší. Pro vyšetření těchto oblastí lze použít modely náhradní příhradoviny.
• Při působení osamělého břemene na líc prvku vznikají obvykle u povrchu tahové síly, které mohou způsobit roztržení líce prvku a je třeba přenést je výztuží. Pro stanovení velikosti těchto sil viz obr. 2.1. Zjednodušeně lze uvažovat u železobetonových konstrukcí běžných pozemních staveb velikost vznikající tahové síly hodnotou 0,1F_Ed.

Obr. 2.1 Působení osamělého břemene – možné způsoby porušení prvku

Posouzení rozdrcení betonu pod soustředěnou silou

U místně zatížených ploch soustředěnou silou F_Ed se musí posoudit únosnost v betonu v tlaku, aby nedošlo k jeho rozdrcení (obr. 2.2). Únosnost v soustředěném tlaku lze vyjádřit vtahem:

\begin{gathered}
F_\text{Rdu}=A_\text{c0}\cdot f_\text{cd}\sqrt{(A_\text{c1}/A_\text{c0})}\le3{,}0\cdot f_\text{cd}\cdot A_\text{c0}
\end{gathered}

(2.2)

kde je

A_c0 … zatížená plocha;

A_c1 … největší návrhová roznášecí plocha podobného tvaru jako A_c0 se středem v přímce zatížení.

Obr. 2.2 Návrh roznášení zatížené plochy A_co podle [1] při h ≥ (b₂ – b₁) a současně h ≥ (d₂ – d₁)

Posouzení podle vztahu (2.2) platí za podmínek

• zatížení je rovnoměrně rozděleno na ploše A_c0;
• plochy A_c0 a A_c1 jsou tvarově (geometricky) podobné;
• jejich těžiště leží na společné normále obou ploch;
• rozměr roznášecí plochy v každém vyšetřovaném hlavním směru, rovnoběžném s osou roznášecí plochy, je roven nejmenší z těchto hodnot (obr. 2.2 a obr. 2.3):

\begin{gathered}
b_2\le3b_1;\space b_2\le b_1+2a_1;\space b_2\le b_1+h
\end{gathered}

Obr. 2.3 Schéma stanovení roznášecí plochy

• výška roznášecí oblasti ve vyšetřovaném směru je rovna nejmenší z těchto hodnot (obr. 2.3):

\begin{gathered}
h\le2b_1;\space h\le2a_1;\space h\le h_\text{d}
\end{gathered}

kde je

b₁ … rozměr styčné plochy;

b_{2 …} rozměr roznášecí plochy;

a₁ … zdálenost styčné plochy od nejbližšího okraje prvku;

h_d … výška roznášecí oblasti;

h … tloušťka prvku.

Při více zatěžovacích plochách se nesmí plochy A_c1 překrývat.

Příklady vyztužení oblastí jsou na obr. 2.4.

Obr. 2.4  Příklady vyztužení oblasti pod osamělým břemenem

Roztržení roznášecí oblasti podle [40]

Maximální tahové napětí betonu na povrchu prvku σ_{ct, max} v roznášecí oblasti se vypočte takto:

• pro obdélníkovou roznášecí plochu pro každý z obou na sebe kolmých hlavních směrů ze vztahu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{ct,max}=\frac{|F_\text{Ed}|}{b_{21}b_{22}}(0{,}60-0{,}44\beta-0{,}16\beta_\text{p}^4)
\end{gathered}

s omezením

\begin{gathered}
\sigma_\text{ct,max}\le0{,}44\frac{|F_\text{Ed}|}{b_{21}b_{22}}
\end{gathered}

(2.3)

• pro kruhovou roznášecí plochu:

\begin{gathered}
\sigma_\text{ct,max}=1{,}3\frac{|F_\text{Ed}|}{b_2^2}[0{,}44(1-\beta)+0{,}40(1-\beta)^4]
\end{gathered}

s omezením

\begin{gathered}
\sigma_\text{ct,max}\le0{,}56\frac{|F_\text{Ed}|}{b_2^2}
\end{gathered}

(2.4)

kde je

F_Ed … soustředěná tlaková síla od návrhového zatížení;

β … poměr stanovený:

• při obdélníkové roznášecí ploše pro směr 1, popř. směr 2 ze vztahu:

\begin{gathered}
\beta=b_{11}/b_{21},\space\text{ popř. }\space\beta=b_{12}/b_{22}
\end{gathered}

• při kruhové roznášecí ploše;

\begin{gathered}
\beta=b_1/b_2
\end{gathered}

β_p … doplňkový poměr b stanovený pro směr kolmý na směr vyšetřovaný (při obdélníkové zatěžovací ploše);

b₁₁, b₁₂ … rozměry obdélníkové styčné plochy;

b₂₁, b₂₂ … rozměry obdélníkové roznášecí plochy;

b₁ … průměr kruhové styčné plochy;

b₂ … průměr kružnice určující roznášecí plochu A_d stanovenou při rozdrcení betonu soustředěnou silou.

Jestliže je splněna podmínka (u obdélníkové roznášecí oblasti v obou směrech):

\begin{gathered}
\sigma_\text{ct,max}\le0{,}4\cdot f_\text{ctd}
\end{gathered}

(2.5)

není třeba v roznášecí oblasti dimenzovat výztuž proti roztržení roznášecí oblasti. Jinak je třeba pro příčné tahy navrhnout výztuž proti roztržení roznášení oblasti. Pro stanovení příčné tahové síly lze využít vztahu uvedeného normě ČSN EN 1992-1-1:2006 [1] (viz kap. 1)

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}(1-0{,}7\frac{b_1}{h_\text{d}})F_\text{Ed}
\end{gathered}

kde za výšku roznášecí oblasti při návrhu výztuže na roztržení se považuje větší z výšek h_d určených pro oba vyšetřované hlavní směry roznášecí oblasti.

Při návrhu příčné výztuže lze uvažovat, přihlížíme-li k limitní šířce trhlin v betonu w_lim, napětí ve výztuži:

\begin{gathered}
\sigma_\text{s,lim}=\frac{8\cdot10^6w_\text{lim}}{2\space000\cdot(d_\text{s})^{\frac{1}{3}}}\space\text{ s omezením }\space0{,}5f_\text{yd}\le\sigma_\text{s,lim}\le f_\text{yd}
\end{gathered}

(2.6)

kde je

σ_{s, lim} … napětí ve výztuži v MPa;

w_lim … limitní šířce trhlin v mm;

d_s … průměr výztužného prutu v mm;

f_yd … návrhová mez kluzu betonářské výztuže.

Příčná výztuž se v roznášecí oblasti rozmístí podle schématu na obr. 2.4. Výztuž musí být rozmístěna na výšku rovnou větší z výšek h_d pro oba vyšetřované hlavní tvary roznášecí oblasti. Tvar a koncová úprava výztuže musí zajistit její kotvení za lícem roznášecí plochy. V každém směru vrstvy výztuže musí být nejméně dvě vložky, přičemž vzdálenost vložek ve vrstvě smí být nejvýše 150 mm a vzdálenost jednotlivých vrstev nesmí být větší než 150 mm. Příčné tahy lze vyšetřit rovněž modely náhradní příhradoviny viz obr. 2.5.

Obr. 2.5 Základní modely náhradní příhradoviny pro stanovení příčných tahů v roznášecí oblasti

Pokud na prvek působí několik soustředěných sil, lze příčnou výztuž, stanovenou pro některou roznášecí oblast, využít i pro další oblasti.

Pokud je vyztužení roznášecí oblasti nosnou výztuží nutné pouze v jednom z vyšetřovaných směrů, musí být výztuž navržená pro tento směr opatřena rozdělovací výztuží o průřezové ploše nejméně 25 % průřezové plochy navržené výztuže.

Má-li roznášecí plocha tvar kruhu o průměru b₁, nebo obdélníku, jehož strany splňují podmínku:

\begin{gathered}
0{,}85b_{21}\le b_{22}\le b_{21}
\end{gathered}

lze příčnou výztuž v roznášecí oblasti uspořádat ve tvaru jedné nebo několika šroubovic, přičemž nejmenší šroubovice musí mít průměr 200 mm a největší maximálně o 20 % větší, než je průměr, nebo menší rozměr roznášecí plochy (příčná výztuž pod kotvami předpínacích kabelů bývá často součástí dodávky kotev).

Porušení roztržením líce prvku

Na obr. 2.6 jsou principy vyztužení líce prvku proti případnému roztržení. Navržená výztuž musí vždy splňovat konstrukční zásady.

Obr. 2.6 Doporučené uspořádání výztuže proti porušení líce prvku při působení osamělého břemene

Při excentrickém působení soustředěné tlakové síly na povrchu betonu předpokládáme, že napětí se roznese lineárně ve vzdálenosti rovné šířce prvku b. Oblast roznosu je typickou poruchovou oblastí, kterou můžeme řešit náhradní příhradovou analogií.

Působí-li soustředěná tlaková síla excentricky na prvek s výstředností e > 0,1b, kde b je šířka prvku, musí se do líce prvku navrhnout doplňková výztuž, neboť poblíž tohoto líce vznikají tahová napětí. Pokud se nepočítá přesněji, lze podle [40] navrhnout doplňkovou výztuž.

Na následujících obrázcích obr. 2.7, obr. 2.8, obr. 2.9, obr. 2.10, obr. 2.11, obr. 2.12 jsou příklady působení osamělého břemene, průběhy napětí pod břemenem a modely náhradní příhradoviny. Zároveň jsou uvedeny vztahy pro zjednodušený návrh oblasti. Navržená výztuž podle níže uvedených vztahů musí vždy splňovat konstrukční zásady.

Obr. 2.7 Působení osamělého břemene na horním líci vysoké stěny

Obr. 2.8 Působení osamělého břemene na horním líci nízké stěny a závislost vnitřních sil na poměru šířky zatěžovací oblasti a k šířce stěny b

Obr. 2.9 Model náhradní příhradoviny pro působení osamělého břemene na okraji na horním líci stěny

Obr. 2.10 Zjednodušené stanovení příčných tahových sil pro osamělé břemeno v ose stěny

Obr. 2.11 Zjednodušené stanovení příčných tahových sil pro osamělé břemeno u kraje stěny

Obr. 2.12 Příklady vyztužení základového pasu na skalním podloží

V oblastech s částečnou nespojitostí se řeší podle modelu, znázorněném na obr. 2.7 a dalších, zatížení stěny osamělým břemenem. V modelu jsou stanovena táhla uvnitř D-oblasti a rovině stěny. Při návrhu výztuže D-oblasti se musí navíc zohlednit vznik tahů při horním líci stěny – tzv. roztržení líce oblasti a zohlednit i příčné tahy působící ve směru tloušťky stěny. Při horním líci lze zjednodušeně uvažovat výztuž, která přenese sílu 0,1F. Výztuž se umístí při horním líci v obou směrech. Ve směru tloušťky není v uvedených případech prostor k rozšíření betonových vzpěr, protože stěna je štíhlá a šířka a a b jsou stejné. Proto ve směru tloušťky navrhujeme konstrukčně výztuž na sílu 0,25F. Výztuž se umístí ve směru tloušťky ve stejné oblasti jako výztuž táhla T₁ podle následujících obr. 2.9, obr. 2.10 a obr. 2.11.

Příčný tah při centrickém zatížení stěny podle obr. 2.10 lze konzervativně stanovit podle následujících vztahů (viz [2], popř. DAfStB 240):

\begin{gathered}
T_1=0{,}25\bigg(1-\frac{d_1}{b}\bigg)F_\text{Ed}
\end{gathered}

(2.7)

T₂ ≈ 0,1F_Ed konstrukční vyztužení, proti roztržení líce prvku (označení tahů podle [2]).

Příčný tah při excentrickém zatížení stěny podle obr. 2.11 lze konzervativně stanovit podle následujících vztahů (viz [2] popř. DAfStB 240):

\begin{gathered}
T_1=0{,}25\bigg(1-\frac{d_1}{h}\bigg)F_\text{Ed}\ge0{,}1F_\text{Ed}
\end{gathered}

(2.8)

\begin{gathered}
T_2=0{,}25\bigg(\frac{e_1}{b}-\frac{1}{6}\bigg)F_\text{Ed}\ge0{,}1F_\text{Ed}
\end{gathered}

(2.9)

\begin{gathered}
T_3\approx0{,}3T_2
\end{gathered}

(2.10)

(označení tahů podle [2]).

2.2 ZATÍŽENÍ OSAMĚLÝM BŘEMENEM V BLÍZKOSTI ULOŽENÍ

Při zatížení osamělým břemenem v blízkosti uložení (obr. 2.13 a obr. 2.14) se předpokládá, že se zatížení přenáší přímo do podpory šikmou betonovou vzpěrou a při zvětšující se vzdálenosti břemene od podpory, ještě pak prostřednictvím přilehlých betonových diagonál (obr. 2.14). Do vzdálenosti břemene od podpory rovné účinné výšce průřezu lze předpokládat pouze jednu diagonální vzpěru. Při návrhu podle jedné (hlavní) betonové vzpěry je nutné navrhnout výztuž na vznikající příčné tahy. Pokud se při návrhu bude uvažovat rozdělení zatížení do přímé diagonály a vložené příhrady (označena 2 na obrázku obr. 2.14b), potom se navrhne svislá výztuž na tu část zatížení, která je vynášená vloženou příhradovinou. Předpokládané roznášení tlaků a umístění táhel je na obr. 2.14.

Obr. 2.13 Osamělé břemeno v blízkosti podpory

 Obr. 2.14 Osamělé břemeno v blízkosti krajní podpory

2.2.1 Návrh s vloženou příhradovinou podle [1]

Působí-li osamělé břemeno na horním líci ve vzdálenosti a_v od osy uložení (a_v je vzdálenost mezi lícem uložení a lícem zatěžovací plochy (obr. 2.14)), lze navrhnout svislou výztuž na redukovanou posouvající sílu β·V_Ed. Redukci působící posouvající síly lze provést pro vzdálenost a_v, pro niž platí:

\begin{gathered}
0{,}5d\le a_\text{v}\le2d
\end{gathered}

(2.11)

kde je

d … účinná výška průřezu.

Součinitel β má hodnotu:

\begin{gathered}
\beta=a_\text{v}/2d
\end{gathered}

(2.12)

Pro vzdálenosti a_v ≤ 0,5d, se uvažuje minimální posouvající síla v hodnotě 0,25V_Ed. Přitom musí být pro posouvající sílu V_Ed vypočtenou bez redukce součinitelem b splněna následující podmínka:

\begin{gathered}
V_\text{Ed}\le0{,}5\cdot b_\text{w}\cdot d\cdot\nu\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(2.13)

kde je

b_w … nejmenší šířka průřezu mezi tlačeným a taženým pásem;

ν … redukční součinitel pevnosti betonu při porušení smykem ν = 0,6 (1 – f_ck/250).

U prvků vyžadující návrh smykové výztuže, musí být navíc plněna podmínka pro redukovanou posouvající sílu:

\begin{gathered}
V_\text{Ed}\le A_\text{sw}\cdot f_\text{ywd}\cdot\sin\alpha
\end{gathered}

(2.14)

kde je

A_sw∙f_ywd … únosnost smykové výztuže protínající šikmou smykovou trhlinu mezi zatíženými oblastmi a α je sklon smykové výztuže. Smyková výztuž se však má umístit pouze ve střední části délky 0,75a_v. Redukce posouvající síly je možná, pokud je podélná výztuž dostatečně zakotvena v uložení.

2.2.2 Návrh s vloženou příhradovinou podle [8] a [7]

Nosníky s osamělým břemenem v blízkosti uložení a na krátkých konzolách mohou být alternativně navrženy podle modelů náhradní příhradoviny. Při vzdálenosti osamělého břemene do hodnoty a_v ≤ d/2 se předpokládá, že se zatížení přenáší přímo (na obr. 2.14 označeno 1). Pro vzdálenější působiště osamělé síly od místa uložení se na přenosu zatížení podílejí obě soustavy 1 a 2 podle obr. 2.14. Pro vzdálenosti a_v ≥ 2d veškeré zatížení přenáší soustava označená 2 na obr. 2.14. Svislá výztuž pro vynášení svislého zatížení soustavy 2 je účinná pouze v oblasti 0,75a_v podle [1] nebo a_w = 0,85a – z/4 podle [7] a [8]. Tato svislá výztuž se navrhuje na redukovanou na svislou sílu:

\begin{gathered}
F_2=\frac{2}{3}\cdot\bigg(\frac{a}{z}-\frac{1}{2}\bigg)\cdot F
\end{gathered}

(2.15)

Při návrhu svislé výztuže je nutné zbývající část oblasti konstrukčně vyztužit svislými třmínky a vodorovnou výztuží pro zachycení příčných tahů vznikajících v tlačených betonových vzpěrách obou soustav 1 a 2 náhradní příhradoviny.

2.2.3 Návrh s hlavní diagonálou podle [24]

Pokud se uvažuje pouze jedna hlavní diagonála do sklonu θ ≤ 45°, je nutné navrhnout výztuž na příčné tahy. Hodnotu příčného tahu můžeme zjednodušeně uvažovat hodnotou 0,22F. Celková svislá síla z příčných tahů je potom:

\begin{gathered}
F_\text{v}=2\cdot0{,}22\cdot\cos\theta
\end{gathered}

(2.16)

a vodorovná síla je

\begin{gathered}
F_\text{h}=2\cdot0{,}22\cdot\sin\theta
\end{gathered}

(2.17)

Při návrhu podle metody hlavní diagonály se navrhuje i vodorovná výztuž, která u předchozích metod není zohledněna. Sklon diagonály θ ≤ 45° odpovídá délce poruchové oblasti podle Saint Venantovy podmínky – viz kap. 1.

2.3 ZMĚNA PRŮŘEZU

Při náhlé změně výšky průřezu vznikají v průřezu sekundární vnitřní síly – tahy a tlaky. Jejich působení je pro kladné momenty schematicky zobrazeno na obr. 2.15. Pro záporné momenty je rozdělení na D- a B-oblasti zobrazeno na obr. 2.16.

Obr. 2.15 Změna průřezu – dolní tažená vlákna

Obr. 2.16 Změna průřezu – dolní tlačená vlákna

Vztahy pro řešení oblasti lze odvodit za předpokladu, že tah při spodním líci se přenáší mezi táhly T₁ a T₂ pod úhlem θ₂ = 45° (cot θ₂ = 1). Obdobný předpoklad je i v případě tlaku při spodním líci pro tlačené prvky C₁ a C₂.

Vzdálenost z₃ se stanoví ze vzdáleností

\begin{gathered}
z_1\space\text{ a }\space z_2-z_1{...}z_3=(z_2-z_1)\cdot\cot\theta_2=(z_2-z_1)
\end{gathered}

(2.18)

Síla v táhle T₃ stanovíme z podmínky rovnováhy ve svislém směru v uzlech 3 a 2 dostaneme rovnice:

\begin{gathered}
C_{31}=-\frac{T_3}{\sin\theta_1}\space\text{ a }\space C_{32}-\frac{T_3}{\sin\theta_2}
\end{gathered}

Z podmínky rovnováhy ve styčníku 1 ve vodorovném směru dostaneme:

C₃₁∙cos θ₁ + C₃₂∙cos θ₂ = T₁, po dosazení výše uvedených vztahů:

\begin{gathered}
\frac{T_3}{\sin\theta_1}\cdot\cos\theta_1+\frac{T_3}{\sin\theta_2}\cdot\cos\theta_2=T_1\\\\
T_3(\cot\theta_1+\cot\theta_2)=T_1\\\\
\text{Přitom }\space\cot\theta_1=\frac{z_3}{z_1}\space\text{ a }\space\cot\theta_2=\frac{z_3}{(z_2-z_1)}=1\\\\
T_3\cdot\bigg(\frac{z_3}{z_1}+1\bigg)=T_3\cdot\bigg(\frac{z_2-z_1}{z_1}+1\bigg)=T_1\\\\
T_3=T_1\cdot\frac{z_1}{z_2}
\end{gathered}

(2.19)

Táhlo T₁ musí být dostatečně zakotveno za styčníkem 1.

U tlačeného dolního okraje dostaneme obdobným postupem

\begin{gathered}
T_3=-C_1\cdot\frac{z_1}{z_2}
\end{gathered}

(2.20)

V literatuře [16] je uveden jiný přístup definující vzdálenost z₃ jako geometrický průměr ramen vnitřních sil před a po změně průřezu. Odvození předpokládá průměrný sklon tlačené diagonály cca 33°. Vzdálenost stanovíme podle vztahu:

\begin{gathered}
z_3=1{,}5\sqrt{(z_1\cdot(z_2-z_1))}
\end{gathered}

Tah v táhle T₃ (při změně výška průřezu v tažených vláknech) stanovíme z rovnováhy ve vodorovném směru ve styčníku 1 a z rovnováhy ve svislém směru ve styčnících 2 a 3. V táhle T₃ vzniká síla (obr. 2.15):

\begin{gathered}
T_3=T_1\frac{z_1(z_2-z_1)}{z_2\cdot z_3}
\end{gathered}

(2.21)

Tah v táhle T₃ (při změně výška průřezu v tlačených vláknech) stanovíme z rovnováhy ve vodorovném směru ve styčníku 1 a z rovnováhy ve svislém směru ve styčnících 2 a 3. V táhle T₃ vzniká síla (obr. 2.16):

\begin{gathered}
T_3=-C_1\cdot\frac{z_1(z_2-z_1)}{z_2\cdot z_3}
\end{gathered}

(2.22)

Při návrhu výztuže je třeba si uvědomit, že při změně výšky průřezu s dolními tlačenými vlákny je staticky nutná tažená třmínková výztuž vzdálena od líce ozubu. Její těžiště je ve vzdálenosti z₃ od líce změny výšky průřezu.

2.4 NEPŘÍMÉ ULOŽENÍ

Nepřímé uložení je uložení, při kterém se reakce z vynášeného prvku vnáší pod těžišťovou osou vynášecího prvku. Reakce z vynášeného prvku se musí výztuží vynést k hornímu líci vynášecího prvku, viz obr. 2.17. (Je tam tedy navíc například třmínková výztuž pro vynesení reakce z vynášeného prvku – trámu k hornímu líci průvlaku). Pro návrh výztuže oblasti s nepřímým uložením můžeme postupovat rovněž podle modelů náhradní příhradoviny.

Obr. 2.17 Přímé a nepřímé uložení – příklady

2.5 PŘÍKLADY

2.5.1 Změna výšky průřezu

Obr. 2.18  Změna výšky průřezu s taženým dolním lícem

Materiály

Beton C35/45:

\begin{gathered}
f\text{cd}=23{,}3\text{ MPa};\space\nu'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}86;\space f_\text{ctd}=1{,}47\text{ MPa}
\end{gathered}

Styčník s táhlem CCT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85\cdot\nu'\cdot f_\text{cd}=17{,}06\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=435\text{ MPa};\space\varepsilon_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

Ramena vnitřních sil podle obrázku, vzdálenost z₃ – styčník 3:

\begin{gathered}
z_3=1{,}5\sqrt{(z_1\cdot(z_2-z_1))}=1{,}5\cdot\sqrt{0{,}31\cdot0{,}2}=0{,}373
\end{gathered}

Rozhodující vnitřní síla – ohybový moment v místě změny průřezu je M_Ed = 300 kNm

\begin{gathered}
T_1=M_\text{Ed}/z_1=300/0{,}31=967{,}7\text{ kN};\space T_2=M_\text{Ed}/z_2=300/0{,}51=588{,}3\text{ kN}
\end{gathered}

Táhlo u líce změny průřezu:

\begin{gathered}
T_3=T_1\frac{z_1\cdot(z_2-z_1)}{z_2\cdot z_6}=588{,}3\frac{0{,}31\cdot(0{,}51-0{,}31)}{0{,}31\cdot0{,}373}=315{,}4
\end{gathered}

Návrh výztuže táhla ve formě třmínků

A_s = 315 400/435 = 7 25,1 mm²…→ 4 x 2ø12 – navíc 4 třmínky o průměru 12 mm při líci změny výšky průřezu.

Výztuž táhla T₁ je A_s = 967 700/435 = 2 224,6 mm²…→ 5 x ø25 (2454 mm²).

Výztuž táhla T₂ je A_s = 588 300/435 = 1 352,4 mm²…→ 5 x ø20 (1571 mm²) vzhledem ke komplikovanějšímu zakotvení volíme menší průřez prutů výztuže.

Táhlo T₁ je nutné kotvit za styčníkem 1 v délce l_bd,rqd:

\begin{gathered}
l_\text{b,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{20\cdot435\cdot(2\space224{,}6/2\space454)}{4\cdot3{,}3}=598\text{ mm}
\end{gathered}

Minimální délka táhla T₁ je 598 + 373 = 971 mm (měřeno od svislice 2–3)

\begin{gathered}
f_\text{bd}=2{,}25\cdot\eta_1\cdot\eta_2\cdot f_\text{ctd}=3{,}3\text{ MPa}
\end{gathered}

Táhlo T₂ je nutné kotvit za styčníkem 2 v délce l_bd,rqd, vzhledem k požadované kotevní délce se prut vyhne k hornímu líci (při horním líci se uvažují špatné podmínky soudržnosti, proto je nutné zde kotevní délku prodloužit).

\begin{gathered}
l_\text{b,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{20\cdot435\cdot(1\space352{,}4/1\space571)}{4\cdot2{,}31}=811\text{ mm}
\end{gathered}

2.5.2 Nepřímé uložení trámu

Příklad nepřímého uložení trámu do průvlaku podle obr. 2.20.

Materiály

Beton C35/45:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=23{,}3\text{ MPa};\space\nu'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}8
\end{gathered}

Styčník s táhlem CCT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85\cdot\nu'\cdot f_\text{cd}=22{,}7\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text{ MPa};\space\varepsilon_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

Obr. 2.19  Nepřímé uložení trámu do průvlaku

Rozhodující reakce z nepřímo uloženého trámu je 100 kN.

Třmínky pro vynesení reakce 100 kN … As = 100 000/435 = 229,9 mm².

Navrženy dva dvoustřižné třmínky o průměru 10 mm (314 mm²) po obou stranách stropního trámu. Třmínky musí být navíc přidány ke standardně navržené třmínkové výztuži průvlaku.

2.5.3 Lokální zatížení – příklad 1

Navrhněte výztuž na přenesení příčných tahů

Lokální zatížení 600 kN při horním líci stěny. Stěna je široká 0,20 m, pro prvek je z betonu třídy C25/30. Betonářská výztuž B500A, betonová krycí vrstva 30 mm.

Obr. 2.20

Styčná plocha – soustředěný tlak:

\begin{gathered}
d_2\le3d_1=3\cdot200=600\text{ mm}\space\text{ a }\space b_2=b_1=200\text{ mm,}\space f_\text{cd}=30/1{,}5=20\text{ MPa}\\\\
A_\text{c1}=b_2\cdot d_2=0{,}2\cdot0{,}6=0{,}12\text{ m}^2
\end{gathered}

Výška oblasti s příčnými tahy h:

\begin{gathered}
h\ge(d_2-d_1)=(600-200)=400\text{ mm}
\end{gathered}

Plocha styčné desky je

\begin{gathered}
A_\text{c0}=b_1\cdot d_1=0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04\text{ m}^2
\end{gathered}

Únosnost v soustředěném tlaku:

\begin{gathered}
F_\text{Rdu}=A_\text{c0}f_\text{cd}\cdot\sqrt{\frac{A_\text{c1}}{A_\text{c0}}}=0{,}04\cdot20\cdot\sqrt{0{,}12/0{,}04}=1{,}386\text{ MN}=1\space386\text{ kN}\\\\
F_\text{Rdu}<3\cdot f_\text{cd}\cdot A_\text{c0}=3\cdot20\cdot0{,}04=2{,}4\text{ MN}=2\space400\text{ kN}\\\\
F_\text{Ed}=600\text{ kN}< F_\text{Rdu}=1\space386\text{ kN}{....}\text{vyhovuje}
\end{gathered}

Příčný tah podle vztahu (1.7) z kapitoly 1 (uvažujeme částečnou nespojitost – oblast D):

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\bigg(\frac{d_2-d_1)}{d_2}\bigg)\cdot F_\text{Ed}=\frac{1}{4}\bigg(\frac{0{,}6-0{,}2}{0{,}6}\bigg)\cdot600=100\text{ kN}
\end{gathered}

Minimální výztuž na příčné tahy (betonářská výztuž B500A):

\begin{gathered}
A_\text{s}=\frac{100}{435\space000}=0{,}00023\text{ m}^2,\space\text{ což představuje }\space3\text{\o}8
\end{gathered}

2.5.4 Lokální zatížení – příklad 2

Lokální zatížení 600 kN při horním líci stěny. Stěna je široká 0,20 m, pro prvek je z betonu třídy C25/30. Betonářská výztuž B500A, betonová krycí vrstva 30 mm.

\begin{gathered}
e_1=400\text{ mm}\space\space\text{a}\space\space e_2=600\text{ mm}
\end{gathered}

Navrhněte výztuž na přenesení příčných tahů

Obr. 2.21

Stanovení modelu náhradní příhradoviny pro výpočet staticky nutné výztuže pro přenesení vznikajících příčných tahů.

Nejprve určíme průběh napětí v nosníkové části (B) průřezu:

\begin{gathered}
\sigma_1=\frac{F_\text{Ed}}{b\cdot h}\bigg(1+\frac{6\cdot e}{h}\bigg)\space\space\text{a}\space\space\sigma_2=\frac{F_\text{Ed}}{b\cdot h}\bigg(1-\frac{6\cdot e}{h}\bigg)\\\\
\sigma_1=\frac{600}{0{,}2\cdot1{,}0}\bigg(1+\frac{6\cdot0{,}10}{1{,}0}\bigg)=4\space800\text{ kNm}^2\space\text{ a }\space\sigma_2=\frac{600}{0{,}2\cdot1{,}0}\bigg(1-\frac{6\cdot0{,}10}{1{,}0}\bigg)=1\space200\text{ kNm}^2\\\\
\sigma=\frac{(\sigma_1-\sigma_2)\cdot e_2}{h}+\sigma_2\\\\
F_1=\frac{(\sigma_1+\sigma)}{2}\cdot e_1\cdot b\space\space\text{a}\space\space F_2=\frac{(\sigma+\sigma_1)}{2}\cdot e_2\cdot b
\end{gathered}

Nutná posouzení:

• soustředěný tlak;
• roztržení líce prvku pod břemenem;
• roztržení roznášecí oblasti – příčné tahy.

Obr. 2.22

Hodnota napětí pod působištěm:

\begin{gathered}
\sigma=(4\space800-1\space200)/1\cdot0{,}6+1\space200=3\space360\text{ kNm}^2
\end{gathered}

Obrazec napětí rozdělíme hodnotou 3 360 kNm² na dvě části a stanovíme výslednice sil každé části:

\begin{gathered}
F_1=(4\space800+3\space360)/2\cdot0{,}4\cdot0{,}2=326{,}4\text{ kN}
\end{gathered}

a

\begin{gathered}
F_2=(1\space200+3\space360)/2\cdot0{,}6\cdot{,}2=273{,}6\text{ kN}
\end{gathered}

Pro výslednice stanovíme jejich působiště. Zatížení rozdělíme podle výslednic na dvě síly (stejné hodnoty jako výslednice). Jejich působiště stanovíme z momentové rovnováhy (k působišti zatížení).

\begin{gathered}
273{,}6/600\cdot0{,}10=0{,}0456\text{ m}\\\\
326{,}4/600\cdot0{,}10=0{,}0544\text{ m}
\end{gathered}

Oblast roznesení zatížení podle obr. 2.2.

h ≥ (d₂ – d₁) ≥  (600 – 200) ≥  400 mm. Budeme uvažovat výšku h = 400 mm.

Obr. 2.23 Příklad excentricky zatížené stěny – průběhy napětí

Příčné tahy působí ve vzdálenosti a/4 + b/2 = 0,2/4 + 0,8/2 = 0,45 m od horního líce. První tlačená vzpěra je ve vzdálenosti a/4 = 0,2/4 = 0,05 m. Tím je stanovena geometrie modelu náhradní příhradoviny.

Sklon vzpěr je

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctan}(0{,}4/0{,}166)=64{,}6\degree\space\text{ a }\space\alpha_2=\text{arctan}(0{,}4/0{,}198)=60{,}5\degree
\end{gathered}

Tlakové síly ve vzpěrách jsou

\begin{gathered}
C_1=\frac{326{,}4}{\sin\alpha_1}=361{,}3\text{ kN}\space\text{ a }\space C_2=\frac{273{,}6}{\sin\alpha_2}=314{,}3\text{ kN}
\end{gathered}

Příčný tah je

\begin{gathered}
T_1=T_2=C_1\cdot\cos\alpha_1=155\text{ kN}
\end{gathered}

Odtud staticky nutná plocha výztuže zachycující příčné tahy:

\begin{gathered}
A_\text{S}=155\cdot10^{-3}/435=0{,}00036\text{ m}^2
\end{gathered}

Navrhneme nejméně 5ø10.

Zjednodušeně můžeme vyjít rovnou ze vztahu (1.7) podle [1]:

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\bigg(\frac{d_2-d_1}{d_2}\bigg)\cdot F_\text{Ed}=\frac{1}{4}\bigg(\frac{0{,}6-0{,}2}{0{,}6}\bigg)\cdot600=100\text{ kN}
\end{gathered}

Vzhledem k excentricitě zatížení není použití vztahu vhodné. Hodnota je pouze informativní. Totéž platí i o následujícím výpočtu pomocí vztahu (2.1). Pro dosazení – celá oblast D je vysoká d = 2h

\begin{gathered}
T_1=0{,}25\bigg(1-\frac{d_1}{d}\bigg)\cdot F_\text{Ed}=0{,}25(1-0{,}2/0{,}8)\cdot600=112{,}5\text{ kN}
\end{gathered}

ostatní tahové složky (T₂) se pokryjí konstrukční výztuží.

2.5.5 Lokální zatížení – příklad 3

Obr. 2.24 Příklad excentricky zatížené stěny – velká excentricita

Lokální zatížení 600 kN při horním líci stěny. Stěna je široká 0,20 m, pro prvek je z betonu třídy C25/30. Betonářská výztuž B500A, betonová krycí vrstva 30 mm.

Navrhněte výztuž na přenesení příčných tahů.

Model náhradní příhradoviny

Nejprve určíme průběhy napětí v nosníkové části (B) průřezu:

\begin{gathered}
\sigma=\frac{600}{0{,}2\cdot1{,}0}\bigg(1+\frac{6\cdot0{,}25}{1{,}0}\bigg)=7\space500\text{ kNm}^2\space\\\text{a}\\
\sigma=\frac{600}{0{,}2\cdot1{,}0}\bigg(1-\frac{6\cdot0{,}25}{1{,}0}\bigg)=1\space500\text{ kNm}^2
\end{gathered}

Obr. 2.25  Příklad excentricky zatížené stěny – průběhy napětí

Obr. 2.26

Hodnota napětí pod působištěm síly:

\begin{gathered}
\sigma=7\space500-(7\space500+1\space500)/1\cdot0{,}25=5\space250\text{ kNm}^2
\end{gathered}

Obrazec napětí rozdělíme hodnotou 5 250 kNm², 1 500 kNm² 0 kNm² na čtyři části a stanovíme výslednice sil každé části. Nulové napětí je ve vzdálenosti 0,167 m od vzdálenějšího líce.

\begin{gathered}
(7\space500+5\space250)/2\cdot0{,}25\cdot0{,}2=318{,}8\text{ kN}\\\\
(5\space250+1\space500)/2\cdot0{,}417\cdot0{,}2=218{,}3\text{ kN}\\\text{ a}\\
1\space500/2\cdot0{,}167\cdot0{,}2=25\text{ kN}
\end{gathered}

Pro výslednice stanovíme jejich působiště. Zatížení rozdělíme podle výslednic na dvě síly (stejné hodnoty jako výslednice). Jejich působiště stanovíme z momentové rovnováhy k působišti zatížení.

\begin{gathered}
318{,}8/600\cdot0{,}10=0{,}053\text{ m}\\\\
281{,}3/600\cdot0{,}10=0{,}047\text{ m}
\end{gathered}

Výška oblasti roznášející zatížení podle obr. 2.14

\begin{gathered}
h=2\cdot e_2=500\text{ mm}
\end{gathered}

Příčné tahy působí podle ve vzdálenosti h ∙ (0,1 + 0,3) = 0,20 od horního líce. První tlačená vzpěra je ve vzdálenosti 0,5 ∙ 0,1 = 0,05 m. Tím je stanovena geometrie modelu náhradní příhradoviny.

Sklon vzpěr je

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctan}(0{,}15/0{,}087)=60\degree;\space\alpha_2=\text{arctan}(0{,}15/0{,}116)=52{,}3\degree\space\text{ a }\space\alpha_3=\text{arctan}(0{,}15/0{,}222)=34\degree
\end{gathered}

Tlakové síly ve vzpěrách jsou

\begin{gathered}
C_1=\frac{-318{,}8}{\sin\alpha_1}=-368{,}1\text{ kN}\space\space\text{a}\space\space C_2=\frac{-281{,}3}{\sin\alpha_2}=-355{,}5\text{ kN}
\end{gathered}

Příčný tah je

\begin{gathered}
T_1=-C_1\cdot\cos\alpha_1=184{,}1\text{ kN},\space C_3=184{,}1-(-C_2\cdot\cos\alpha_2)=-33{,}3\text{ kN}\\\\
C_4=33{,}3\cdot\cos34\degree+25\cdot\cos(90\degree-34\degree)=-37{,}4\text{ kN}
\end{gathered}

Odtud staticky nutná plocha výztuže zachycující příčné tahy:

\begin{gathered}
\text{táhlo }\space T_1\cdot A_\text{s}=184\cdot10^{-3}/435=0{,}000423\text{ m}^2{...}\text{navrhneme nejméně }6\phi10\\\\
\text{táhlo }\space T_2\cdot A_\text{s}=33{,}3\cdot10^{-3}/435=0{,}000077\text{ m}^2{...}\text{navrhneme nejméně }2\phi
\end{gathered}

Příčný tah při excentrickém zatížení stěny lze zjednodušeně stanovit podle vztahů (2.8) až (2.10):

\begin{gathered}
T_1=0{,}25\cdot\bigg(1-\frac{d_1}{h}\bigg)\cdot F_\text{Ed}=0{,}25\cdot(1-0{,}4)\cdot600=90\text{ kN}\\\\
T_2=0{,}25\cdot\bigg(\frac{e_1}{b}-\frac{1}{6}\bigg)\cdot F_\text{Ed}=T_2=0{,}25\cdot\bigg(\frac{0{,}25}{1}-\frac{1}{6}\bigg)\cdot600=12{,}5\text{ kN}\cdot T_2\ge0{,}1\cdot F_\text{Ed}=60\text{ kN}\text{ (rozhoduje konstrukční vyztužení)}\\\\
\text{a}\space\space T_3=0{,}3\cdot T_2=20\text{ kN}\text{ (rozhoduje konstrukční vyztužení)}
\end{gathered}

3 KONZOLY

Návrh konzol je častý problém, zejména u prefabrikovaných konstrukcí. K jejich návrhu byla vypracována řada uveřejněných postupů zejména v [7], [8], [13] a [18]. Návrhové modely vycházejí z principů modelování poruchových oblastí pomocí náhradní příhradoviny. Z hlediska zatížení mohou být konzoly přímo nebo nepřímo zatížené (obr. 3.1a,b), z hlediska napojení na konstrukci přímo a nepřímo uložené (obr. 3.1c,d) a z hlediska jejich poměrného vyložení a/z konzoly mohou být krátké při a/z ≤ 0,5 nebo dlouhé při 0,5 < a/z ≤ 2,0, kde a je rameno vnější síly F_Ed, z je rameno vnitřních sil (obr. 3.1e,f). Pokud je a/z > 2,0, řešíme konzolu jako nosník a oblast jeho uložení řešíme jako rámový roh.

Obr. 3.1 Základní typy konzol

3.1 TYPY KONZOL A METODY NÁVRHU

Konzoly na sloupech představují z hlediska bezpečnosti a spolehlivosti celé konstrukce velmi významný prvek (např. haly apod.). Proto je nutné jejich návrhu věnovat maximální pozornost. Na dokumentaci pro konzoly je nutné uvádět všechny závazné parametry a předpoklady, které jsou při návrhu použity. Velmi vhodné je například uvádět nejen tloušťku betonové krycí vrstvy, ale i maximální toleranci v uložení rozhodující výztuže – maximální betonovou krycí vrstvu v souladu s ČSN EN ISO 3766:2004. Výkresy stavebních konstrukcí – Kreslení výztuže do betonu. Pro správný návrh je dobré znát i např. výrobní postup prefabrikátu s konzolou (podmínky soudržnosti pro dostatečné zakotvení výztuže konzoly apod.). Při návrhu konzoly je nutné po dokončení výpočtu a nakreslení výztuže ověřit předpokládanou geometrii modelu náhradní příhradoviny. Vzhledem k tomu, že se při prvním návrhu dají obtížně odhadnout všechny veličiny, které ovlivňují geometrii modelu, bývá obvykle nutné provést nové posouzení s upřesněnou geometrií modelu.

Při návrhu konzoly je velmi důležité rozlišovat místo působení zatížení. Principiálně jsou dvě možnosti způsobu zatížení. Prvním je přímé zatížení, u kterého zatížení působí na horním povrchu konzoly; u přímo uložené konzoly se pak zatížení přenáší přímo do sloupu obr. 3.1a. Druhým způsobem je nepřímé zatížení obr. 3.1b. U nepřímo zatížených konzol přímo uložených se např. část zatížení přenáší svislou taženou výztuží k hornímu líci konzoly a zbývající část přímo šikmou výztuží do sloupu. Zatížení přenesené svislou výztuží k hornímu líci konzoly se pak dále přenáší do sloupu jako u krátkých nebo dlouhých konzol přímo zatížených.

Při návrhu konzoly je nutné uvážit polohu zatížení vyvolanou nepřesnostmi při montáži a výrobě. Nepřesnosti polohy zatížení F_Ed musí být uváženy při stanovení působiště, tj. při stanovení vzdálenosti a. Obvykle zvětšujeme excentricitu zatížení o cca 20 mm.

Pro přenos zatížení z konzoly do sloupu je důležitý poměr ramen vnější síly a a vnitřních sil z. Vzhledem k tomu, že při začátku návrhu nejsou známé délky ramen vnitřních a vnějších sil, některé předpisy uvádějí jiná rozhraní mezi krátkou a dlouhou konzolou. Rozhraní mezi krátkou a dlouhou konzolou je zvolená konvence experimenty ověřená. Tato konvence je důležitá především pro stanovení svislé a vodorovné výztuže. Hranice mezi krátkou a dlouhou konzolou není u všech předpisů stejná. V ČSN EN 1992-1-1:2006 [1] je rozhraní pro krátkou konzolu uvažováno hodnotou a_c/z₀ ≤ 0,5, kde a_c je vzdálenost břemene od líce sloupu F_Ed a z₀ je průsečík tlačené diagonály s okrajem podporovaného prvku. Jedná se v podstatně o poměr ramen vnějších a vnitřních sil a/z. Pokud platí a/z ≤ 0,5, hovoříme o krátké konzole a zatížení se přenáší přímo šikmou diagonálou do sloupu. Pokud platí 0,5 < a/z ≤ 2,0, jedná se o dlouhou konzolu a zatížení se přenáší nejen hlavní diagonálou, ale i vloženou příhradovinou.

3.2 PŘÍMO ZATÍŽENÉ KONZOLY

Geometrie přímo zatížené a přímo uložené konzoly je na obr. 3.2a. Zatížení z konzoly se přenáší hlavní tlačenou betonovou diagonálou do styčníku při okraji sloupu a tahovou vodorovnou výztuží přímo do sloupu. V předpisech [2], [7], [8] a [13] je předepsáno uvažovat u každé konzoly minimální vodorovnou sílu H_Ed = 0,20 F_Ed.

Obr. 3.2 Nejčastější typy modelů náhradní příhradoviny

V ČSN EN 1992-1-1:2006 [1] není tato vodorovná síla blíže specifikována a záleží tedy na uvážení statika, jaké síly bude při návrhu uvažovat. Doporučuje se však uvažovat minimální hodnotu vodorovné síly H_Ed = 0,2F_Ed. Vliv vodorovné síly H_Ed se projevuje především ve zvětšeném množství hlavní tahové výztuže. Dále se doporučuje počítat s excentricitou e zatížení F_Ed, která může vzniknout jako důsledek výrobních tolerancí a montážních tolerancí.

3.2.1 Postup návrhu konzoly – základní výpočetní postup

Postup řešení poruchové oblasti konzoly podle ČSN EN 1992-1-1:2006 [1], podle metody hlavní diagonály a podle DAfStB 525 [20] a podle K. H. Reinecka [8] vychází z rovnováhy sil ve styčnících 1 a 2 (obr. 3.3, obr. 3.4 a obr. 3.5). Z podmínky rovnováhy ve styčníku 1 (obr. 3.6) ve svislém směru stanovíme šířku tlačené oblasti x₁ od kraje sloupu. Z momentové rovnováhy ve styčníku 1 stanovíme výšku tlačené oblasti y₁. V dalším stanovíme rameno vnitřních sil z a rameno vnějších sil a. Z jejich poměru dopočteme sklon tlačené diagonály θ. Hlavní tahovou sílu stanovíme z rovnováhy ve vodorovném směru ve styčníku 2, z rovnováhy ve svislém směru stanovíme pak tlakovou sílu v betonové diagonále.

Obr. 3.3  Základní model náhradní příhradoviny

Obr. 3.4  Modely náhradní příhradoviny pro krátké konzoly podle ČSN EN 1992-1-1

Obr. 3.5  Modely náhradní příhradoviny pro dlouhé konzoly (konzoly s velkým vyložením)

Obr. 3.6  Řešení styčníku 1 modelu náhradní příhradoviny

3.2.1.1 Základní výpočetní postup – stanovení hlavní tahové výztuže a hlavní diagonály – odvození

• Šířka tlačené oblasti ve sloupu se stanoví z rovnováhy svislých sil ve styčníku 1 (obr. 3.6).

Rovnováha svislých sil je F_Ed = x₁ ∙ b ∙ σ_Rd,max . Odtud vyjádříme x₁:

\begin{gathered}
x_1=\frac{F_\text{Ed}}{\sigma_\text{Rd,max}\cdot b}
\end{gathered}

(3.1)

Styčník 1: U přímo uložené konzoly se jedná o styčník CCC (obr. 1.10). Únosnost betonu v tlaku σ_Rd,max je definována vztahem (1.10), b je šířka konzoly.

Rameno vnější síly (obr. 3.6):

\begin{gathered}
a=a_\text{c}+0{,}5x_1+\frac{H_\text{Ed}}{F_\text{Ed}}(d'+\Delta h)
\end{gathered}

(3.2)

• Výška y₁ tlačené oblasti ve styčníku 1 se stanoví z momentové rovnováhy ke styčníku 1, kterou lze vyjádřit:

\begin{gathered}
F_\text{t}\cdot z-F_\text{Ed}\cdot a-H_\text{Ed}\cdot(z+d'+\Delta h)=0
\end{gathered}

Předpokládá se maximální namáhání ve styčníku 1 rovnému σ_Rd,max (viz rovnice 3.1). Z rovnováhy ve vodorovném směru určíme sílu F:

\begin{gathered}
F_\text{t}-H_\text{Ed}=y_1\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

Po úpravě dostaneme rovnici:

\begin{gathered}
(y_1\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max}+H_\text{Ed})\cdot z-F_\text{Ed}\cdot a-H_\text{Ed}\cdot(z+d'+\Delta h)=0\\\\
y_1\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max}\cdot z/F_\text{Ed}+H_\text{Ed}\cdot z/F_\text{Ed}-a-H_\text{Ed}\cdot(z+d'+\Delta h)/F_\text{Ed}=0\\\\
y_1\cdot z/x_1+H_\text{Ed}\cdot z/F_\text{Ed}-a-H_\text{Ed}\cdot(z+d'+\Delta h)/F_\text{Ed}=0
\end{gathered}

Za rameno vnitřních sil dosadíme z = d – 0,5 ∙ y₁

\begin{gathered}
y1\cdot(d-0{,}5\cdot y_1/x_1+H_\text{Ed}\cdot(d-0{,}5\cdot y_1)/F_\text{Ed}-H_\text{Ed}((d-0{,}5\cdot y_1)+d'+\Delta h)/F_\text{Ed}-a=0
\end{gathered}

a dostaneme kvadratickou rovnici pro y₁ ve tvaru

\begin{gathered}
y_1^2/(2x_1)-y_1\cdot d/x_1+H_\text{Ed}(d'+\Delta h)/F_\text{Ed}+a=0
\end{gathered}

Upravíme vynásobením 2x₁

\begin{gathered}
y_1^2-2y_1\cdot d+2x_1\cdot(H_\text{Ed}(d'+\Delta h)/F_\text{Ed}+a)=0
\end{gathered}

a jejím řešením je vztah pro výšku styčníku 1

\begin{gathered}
y_1=d-\sqrt{d^2-2x_1(a+H_\text{Ed}/F_\text{Ed}(d'+\Delta h))}
\end{gathered}

(3.3)

• Rameno vnitřních sil (viz obr. 3.3)

\begin{gathered}
z=d-0{,}5y_1
\end{gathered}

(3.4)

• Tahovou sílu při horním líci konzoly určíme z momentové rovnováhy ve styčníku 1 (obr. 3.7)

\begin{gathered}
F_\text{t}\cdot z-H_\text{Ed}(z+d'+\Delta h)-F_\text{Ed}\cdot a=0\\\\
\text{odtud}\space\space F_\text{t}=F_\text{Ed}\cdot\frac{a}{z}+H_\text{Ed}(1+(d'+\Delta h)/z)\\\\
\text{nebo}\space\space F_\text{t}=F_\text{Ed}\cdot\cot\theta+H_\text{Ed}(1+(d'+\Delta h)/z)
\end{gathered}

(3.5)

Obr. 3.7  Řešení styčníku 2 modelu náhradní příhradoviny

• Hlavní tahová výztuž:

\begin{gathered}
A_\text{s,main}=F_\text{t}/f_\text{yd}
\end{gathered}

(3.6)

Navrhneme výztuž a ověříme předpoklady pro tahovou výztuž (průměr, počet vrstev, vzdálenost od horního líce). Po upřesnění musíme model náhradní příhradoviny překontrolovat a případně přepočítat s upřesněnou geometrií. Důležité je překontrolování zakotvení hlavní tahové výztuže pod ložiskem – styčnou deskou a ve sloupu (pozor kotevní délku ve sloupu uvažujeme až při vzdálenějším líci, nikoliv od přilehlého líce sloupu).

• Síla v betonové diagonální vzpěře

\begin{gathered}
F_\text{c}=F_\text{Ed}/\sin\theta
\end{gathered}

(3.7)

kde sin θ = z/H podle obr. 3.3. Délka betonové vzpěry H:

\begin{gathered}
H=\sqrt{a^2+z^2}
\end{gathered}

Únosnost betonové vzpěry se uvažuje podle vztahu σ_Rd,max = 0,6 ∙ ν’f_cd (viz kap. 1).

• Napětí v betonu pod styčnou deskou:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{F_\text{Ed}}{A_\text{desky}};\space\Tau=\frac{H_\text{Ed}}{A_\text{desky}}
\end{gathered}

(3.8)

Hodnoty napětí v tlaku σ_c a T je nutné srovnat s hodnotami únosnosti materiálu ložiska a s únosností betonu v tlaku pod ložiskem.

Pro vysoké (velmi krátké – obr. 3.4a) konzoly s úhlem θ ≥ 63,5° uvažujeme ve výpočtu vnitřních sil s úhlem θ = 63,5°. V místě průniku tlačené diagonály s rovinou vnějšího líce sloupu (vzdálenost z₀ podle [1]) se předpokládá částečné opření (vložený styčník 3). Dále je zatížení přenášeno svisle do dalšího vloženého styčníku 4, kde nastává odklon pod stejným úhlem θ = 63,5° do místa uložení – styčníku 1. U krátkých a velmi krátkých konzol je nutná především vodorovná konstrukční výztuž pro zachycení příčných tahů vznikajících v betonové vzpěře.

Návrh dlouhé konzoly zůstává v principu stejný jako návrh krátké konzoly. Navíc oproti návrhu krátké konzoly je nutné se soustředit na návrh svislých třmínků v oblasti mezi lícem sloupu a vnitřním lícem styčné – ložiskové desky. Rozhodující pro posouzení svislé výztuže je u většiny postupů opět poměr ramene vnějších sil a a vnitřních sil z. Pro dlouhé konzoly a/z ≥ 0,5 se předpokládá částečné vynášení svislého zatížení nepřímo – vloženou příhradovinou.

3.2.2 Postup návrhu konzoly podle ČSN EN 1992-1-1:2006, příloha J

Podle přílohy J [1] lze navrhovat krátké konzoly, pro které platí a_c < z₀ Hodnota z₀ je v normě [1] naznačena v obrázku J5 (viz obr. 3.8) jako svislá vzdálenost mezi styčníkem 2 a průnikem tlakové diagonály s okrajem sloupu. Skon tlačené diagonály je v [1] omezen vztahem 1,0 ≤ tan θ ≤ 2,5, poměr a_c/z₀ vyjadřuje podle cot θ:

\begin{gathered}
\frac{a}{z}=\cot\theta=\frac{a_\text{c}}{z_0}
\end{gathered}

Obr. 3.8  Krátká konzola podle ČSN EN 1992-1-1 příloha J

Návrh hlavní tahové výztuže konzoly se provede podle postupu uvedeného v kap. 3.2.1.1. Po té se pro krátké konzoly s a_c < 0,5h_c kromě výše uvedené hlavní výztuže navrhnou uzavřené vodorovné třmínky s průřezovou plochou nejméně 25 % plochy hlavní tahové výztuže. Pro dlouhé konzoly s a_c < 0,5h_c a F_Ed > V_Rd,c (podle [1] kap. 6.2.2) se navrhnou přídavné uzavřené svislé třmínky s průřezovou plochou A_s,lnk ≥ 0,5 F_Ed/f_yd.

Hlavní tahová výztuž musí být řádně zakotvena na obou koncích. Kotevní délku ve sloupu je vhodné bezpečně uvažovat od styčníku 3. Kotevní délka při horním líci konzoly se uvažuje od vnitřního líce styčné (zatěžovací) desky. Při bezpečném tlakovém namáhání v horní části sloupu, lze uvažovat kladné působení tlakového namáhání na stanovení kotevní délky vodorovné výztuže. U kotevní délky pod styčnou deskou lze do návrhu kotevní délky započítat kladný vliv tlaku od zatížení F_Ed.

Při tlakovém namáhání betonové diagonály vznikají příčné tahy. Pro návrh výztuže na zachycení příčných sil lze též použít model uvedený na obr. 2.14 a vodorovnou sílu F_wd stanovit podle doporučení MC90 ze vztahu:

\begin{gathered}
F_\text{wd}=(2\frac{a}{z}-1)\cdot F_\text{cy}/(3+\frac{F_\text{Ed}}{F_\text{cy}})
\end{gathered}

(3.9)

kde je

F_cy … vodorovná reakce ve styčníku 1.

Odtud se stanoví staticky nutná plocha vodorovné výztuže:

\begin{gathered}
A_\text{sw}=A_\text{s,link}=F_\text{wd}/f_\text{yd}\ge0{,}25A_\text{s,main}
\end{gathered}

(3.10)

kde je

A_s,main … průřezová plocha hlavní tahové výztuže konzoly.

Ve styčníku 2 (CTC) je nutné překontrolovat dostatečné zakotvení hlavní tahové výztuže. V tlačené diagonále je síla F_c podle vztahu (3.7). Velikost plochy, o kterou se betonová vzpěra opírá:

\begin{gathered}
A_\text{c}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot b
\end{gathered}

Odtud tlakové namáhání v betonové vzpěře:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=F_\text{c}/A_\text{c}\le\sigma
\end{gathered}

(3.11)

3.2.3 Postup návrhu konzoly podle metody hlavní diagonály [24]

V návaznosti na postup uvedený v kap. 3.2.1.1. se navrhnou svislé a vodorovné třmínky na příčné tahové síly vznikající v betonové vzpěře. Velikost příčných tahů je definována vztahem (1.8) v souladu s [1]. U konstrukcí pozemních staveb lze vznikající příčné tahy zjednodušit na hodnotu 0,22F. Síla v betonové diagonální vzpěře je podle vztahu (3.7) F_c = F_Ed/sin θ, podle obr. 3.9.

Obr. 3.9 Krátká i dlouhá konzola řešená metodou hlavní diagonály

• Svislá tahová síla vznikající v betonové vzpěře:

\begin{gathered}
F_\text{wv}=F_\text{wv1}+F_\text{wv2}
\end{gathered}

(3.12)

\begin{gathered}
F_\text{wv1}=T_1\cdot\cos\theta=\kappa_1F_\text{c}\cdot\cos\theta=\kappa_1F_\text{Ed}\cdot\cot\theta
\end{gathered}

(3.13)

a

\begin{gathered}
F_\text{wv2}=T_2\cdot\cos\theta=\kappa_2F_\text{c}\cdot\cos\theta=\kappa_2F_\text{Ed}\cot\theta
\end{gathered}

(3.14)

Při zjednodušení κ₁ ≈ κ₂ ≈ 0,22 dostaneme

\begin{gathered}
F_\text{wv}=0{,}44\cdot\cot\theta\cdot F_\text{Ed}
\end{gathered}

(3.15)

• Vodorovná tahová síla vznikající v betonové vzpěře

\begin{gathered}
F_\text{wh}=F_\text{wh1}+F_\text{wh2}
\end{gathered}

(3.16)

\begin{gathered}
F_\text{wh1}=T_1\cdot\sin\theta=\kappa_1F_\text{c}\sin\theta=\kappa_1F_\text{Ed}=\kappa_1\frac{F_\text{t}}{\cot\theta}
\end{gathered}

(3.17)

a

\begin{gathered}
F_\text{wh2}=T_2\cdot\sin\theta=\kappa_2F_\text{c}\sin\theta=\kappa_2F_\text{Ed}=\kappa_2\frac{F_\text{t}}{\cot\theta}
\end{gathered}

(3.18)

Při zjednodušení κ₁ ≈ κ₂ ≈ 0,22 dostaneme

\begin{gathered}
F_\text{wh}=0{,}44\cdot F_\text{Ed}=0{,}44\frac{F_\text{t}}{\cot\theta}
\end{gathered}

(3.19)

Metoda hlavní diagonály podstatně zjednodušuje komplikované modely náhradní příhradoviny poruchových oblasti.

Při návrhu modelu D-oblasti je důležité doplnit konstrukční výztuž v celé oblasti a zejména v částech betonových vzpěr. Pro její návrh existuje řada kritérií, která jsou často rozporuplná a velmi odlišná. Při aplikaci metody hlavní diagonály se důsledně navrhne výztuž na příčné tahy vznikající v tlačených betonových diagonálách.

3.2.4 Principy vyztužení konzoly

U krátkých konzol je nutné konstrukční vyztužení především vodorovnou výztuží, u dlouhých konzol je nutné především vyztužení svislými třmínky (obr. 3.10). Pro vyztužení konzoly platí následující zásady:

• navrhnout maximálně dvě vrstvy horní tahové výztuže (obr. 3.11), při větším počtu se výrazně zmenšuje rameno vnitřních sil;
• volit větší průměr vnitřního zakřivení smyček hlavní tahové výztuže (obr. 3.11), viz [1];
• minimálně dva podélné vodorovné třmínky menšího průměru (obvykle 6 až 10 mm), plocha těchto třmínků u krátkých konzol by měla být větší než 25 % [1] hlavní tahové výztuže. Přitom vodorovné třmínky jsou umístěny obvykle jako třmínky sloupu první od vnějšího líce prvku;
• minimálně tři svislé třmínky menšího průměru (obvykle 6 až 10 mm), u dlouhých konzol by měly svislé třmínky přenést minimálně sílu 0,5F_Ed [1]. Svislé třmínky jsou obvykle umístěny jako druhé od líce sloupu v úrovni s podélnou výztuží sloupu obr. 3.11, obr. 3.10;
• používat betonářskou výztuž tažnosti třídy B (vysoká tažnost) [1];
• zhustit třmínky sloupu pod a nad konzolou, podélnou výztuž sloupu nestykovat v oblasti napojení konzoly na sloup;
• lze použít i speciální výztuž pro konzoly při respektování stavebně technického osvědčení a národní přílohy ČSN EN 1992-1-1:2006 [1];
• styčná – roznášecí plocha desky nesmí přesahovat obrys výztuže konzoly při uvažování roznášení zatížení pod úhlem 45° (obr. 3.12). Jedinou výjimkou jsou konzolové pásy, které jsou málo zatížené – viz konzolové pásy. Velmi důležité je překontrolování polohy styčné desky při použití svislých smyček (obvykle nikoliv v objektech pozemních staveb). Bližší viz ČSN EN 1992-1-1:2006 [1].

Poznámka:
u konzol se zešikmeným okrajem nemusíme zešikmení uvažovat, pokud zešikmení nezasahuje do tlačené diagonály (při uvažování rozšíření diagonály b_ef = 0,5H + 0,6a; pozor – zde a je šířka tlačené diagonály u styčníku 1 nebo 2 – viz obr. 3.3).

Model napojení konzoly na sloup je na obr. 3.13. Model rozložení vertikálního zatížení do dvou soustav u konzol s velkým vyložením je na obr. 3.5.

Obr. 3.10  Principy vyztužení konzol podle ČSN EN 1992-1-1

Obr. 3.11  Principy vyztužení konzol

Obr. 3.12  Umístění ložiska na konzole

Obr. 3.13  Přenos zatížení z konzoly do sloupu – model náhradní příhradoviny a schéma hlavních tlakových napětí

3.2.5 Další metody návrhu konzol

3.2.5.1 Posouzení konzoly podle DAfStB 525 [20]

Posouzení podle DAfStb 525 [20] (v návaznosti na DAfStB 425) vychází z modelu příhradové analogie podle [2]. Metoda zavádí jinou podmínku maximálního zatížení konzoly. Pro maximální posouvající sílu na konzole platí:

\begin{gathered}
V_\text{Ed}=F_\text{Ed}\le V_\text{Rd,max}=0{,}5v\cdot b\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(3.20)

kde v ≥ (0,7 – f_ck/200) ≥ 0,5

• Hlavní tahová síla F_t se stanoví podle vztahu:

\begin{gathered}
F_\text{t}=F_\text{Ed}\frac{a_\text{c}}{z_0}+H_\text{Ed}\frac{a_\text{H}+z_0}{z_0}
\end{gathered}

(3.21)

kde je

a_H … vzdálenost působiště vodorovné síly od těžiště hlavní tažené výztuže (měřeno ve svislém směru);

z₀ … poloha tlačeného pasu, která se vyjádří podle z₀ = d(1 – 0,4V_Ed/V_Rd,max), přičemž musí platit a_c/z₀ ≥ 0,40.

• Pro krátkou konzolu a_c < 0,5h_c a pokud platí F_Ed > 0,3V_Rd,max se navrhnou uzavřené vodorovné třmínky o minimální ploše rovné 50 % plochy hlavní tahové výztuže.
• Pro dlouhou konzolu a_c ≥ 0,5h_c a pokud platí F_Ed ≥ V_Rd,ct se navrhnout uzavřené svislé třmínky na přenos celkové síly F_wd = 0,7F_Ed, kde V_Rd,ct se stanoví jako podle [1] s použitím německých národních parametrů nebo přímo podle [2].

3.2.5.2 Posouzení konzoly podle K. H. Reinecka [8]

Metoda posouzení konzoly podle prof. K. H. Reinecka (viz obr. 3.4 a obr. 3.5) odpovídá metodě náhradní příhradoviny ve smyslu ČSN EN 1992-1-1:2006 [1]. Ve výpočtu jsou uvažovány pouze jiné únosnosti betonu v tlačených pásech, které vyplývají z národních parametrů pro soustavu norem DIN (Německo). Postupuje se podle kap. 3.2.1.1. Odlišnosti jsou především ve stanovení vodorovné a svislé třmínkové výztuže (viz obr. 3.4 a obr. 3.5). Dále všechny předpisy, které vycházejí z DIN 1045-1, požadují minimální vodorovnou sílu v uložení rovnou H_Ed = 0,2 ∙ F_Ed.

Nejprve se určí velikost tlačené oblasti x₁ z následující rovnice:

\begin{gathered}
x_1=\frac{F_\text{Ed}}{\sigma_\text{c}\cdot b}
\end{gathered}

(3.22)

kde je

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\chi\cdot f_\text{cd}\space\space\text{a}\space\space f_\text{cd}=0{,}85\cdot f_\text{ck}/\gamma_\text{c}
\end{gathered}

χ … součinitel využití betonu v tlaku, který je závislý na třídě betonu:

• χ = 0,95 pro f_ck ≤ 50 MPa
• χ = (1,05 – f_ck/500) pro f_ck > 50 MPa

Základní styčník je umístěn ve vzdálenosti x₁/2 od vnějšího líce sloupu. Horní tahová výztuž je umístěna d‘ od horního líce konzoly.

Vzdálenost a se určí ze vztahu:

\begin{gathered}
a=a_\text{c}+0{,}5x_1+\frac{H_\text{Ed}}{F_\text{Ed}}(d'+\Delta h)
\end{gathered}

(3.23)

kde je

Δh … svislá vzdálenost působiště vodorovné síly od horního líce konzoly.

Pro určení výšky tlačené oblasti na kraji sloupu vyjdeme z momentové výminky rovnováhy a silové výminky rovnováhy ve styčníku 1.

\begin{gathered}
F_\text{Ed}\cdot a+H_\text{Ed}(z+d')-F_\text{t}\cdot z=0
\end{gathered}

(3.24)

\begin{gathered}
F_\text{x}=F_\text{Ed}=0{,}5x_1\cdot\sigma_\text{c}\cdot b\space\space\text{a}\space\space F_\text{y}=F_\text{t}=0{,}5y_1\cdot\sigma_\text{c}\cdot b
\end{gathered}

(3.25)

Odtud dostaneme výšku tlačené oblasti:

\begin{gathered}
y_1=d-\sqrt{d^2-2x_1(a+H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d'+\Delta h))}
\end{gathered}

(3.26)

Po stanovení výšky tlačené oblasti je nutné překontrolovat její maximální velikost pro zajištění dostatečné duktility konstrukce. Musí být splněna následující podmínka:

\begin{gathered}
y_1/(1-f_\text{ck}/250)\le0{,}4d
\end{gathered}

(3.27)

Rameno vnitřních sil se vypočte ze vztahu:

\begin{gathered}
z=d-y_1/2
\end{gathered}

(3.28)

Sklon tlačené betonové diagonály stanovíme:

\begin{gathered}
\cot\theta=\frac{x_1}{y_1}=\frac{a}{z}
\end{gathered}

(3.29)

Tahová síla při horním líci konzoly:

\begin{gathered}
F_\text{t}=F_\text{Ed}\cot\theta+H_\text{Ed}
\end{gathered}

(3.30)

Hlavní tahovou výztuž konzoly stanovíme ze vztahu:

\begin{gathered}
A_\text{s}=F_\text{t}/f_\text{yd}
\end{gathered}

(3.31)

U této výztuže je nutné překontrolovat zakotvení ve styčníku 2, obvykle se výztuž navrhuje ve smyčkách. Alternativně lze vyřešit zakotvení výztuže za styčníkem 2 pomocí kotevních desek, nebo kotevních spojek. Jako hlavní tahovou výztuž lze navrhnout i trny s kovanými hlavicemi, u nichž je zakotvení řešeno kovanou hlavicí. Pro návrh trnů s kovanými hlavicemi je nutné postupovat podle příslušného stavebně technického osvědčení například Z-15.6-204 (Německo).

V zakotvení hlavní tahové výztuže jsou v DIN 1045-1[2] některé odlišnosti oproti ČSN EN 1992-1-1:2006 [1], které je nutné zohlednit při návrhu.

Maximální výška tlačené oblasti musí splňovat navíc podmínku dostatečné duktility konstrukce, která je vyjádřena výrazem:

\begin{gathered}
2y_1/d<0{,}4
\end{gathered}

(3.32)

Pro krátké konzoly (a ≤ 0,5z) lze vyjádřit vznikající vodorovnou sílu podle vztahu:

\begin{gathered}
F_\text{wh}\ge0{,}20F_\text{t}
\end{gathered}

(3.33)

Pro dlouhé konzoly (0,5z > a ≥ 2z) se tahová síla ve svislých třmínkách vyjádří ze vztahu:

\begin{gathered}
F_\text{wv}=\frac{2}{3}(\cot\theta-\frac{1}{2})\cdot F_\text{Ed}
\end{gathered}

(3.34)

3.2.5.3 Posouzení konzoly podle BetonKalender 2009 [13] a DIN 1045-1 [2]

Podle této metody se rozlišují konzoly na krátké a_c ≤ h_c, dlouhé 0,5h_c < a_c ≤ h_c a velmi dlouhé h_c < a_c ≤ 1,5h_c. U delších konzol a_c > 1,5h_c se navrhuje podle běžné nosníkové teorie na ohybový moment, posouvající a normálovou sílu. Metoda vychází z příhradové analogie jako předchozí metoda podle DAfStB 525. Pro krátké a dlouhé konzoly se doporučuje redukovat únosnost ve styčníku 1 na 0,75f_cd a pro velmi dlouhé konzoly na hodnotu 0,95f_cd. Navíc se doporučuje ponechat i u prefabrikovaných konzol součinitel materiálu pro beton γ_c = 1,50. Z důvodu dostatečné duktility konstrukce konzoly je omezena výška tlačené oblasti na 0,45d pro betony do třídy C50/60 (včetně) a pro betony vyšších tříd je omezena výška tlačené oblasti na 0,35d. Minimální tahová síla pro návrh hlavní tahové výztuže je omezena podmínkou F_t ≥ 0,4F_Ed. Současně však dovoluje zanedbat vlastní tíhu konzoly, jako nevýznamné zatížení.

Metoda eliminuje problematický skokový přechod mezi nutnou vodorovnou výztuží pro krátké konzoly a nutnou svislou výztuží pro dlouhé konzoly vztahem pro svislou výztuž:

\begin{gathered}
A_\text{sw,v}\ge\beta\cdot F_\text{Ed}/f_\text{yd}
\end{gathered}

(3.35)

kde pro součinitel β platí:

\begin{gathered}
0\le\beta=2a_\text{c}/h_\text{c}-1\le1{,}0
\end{gathered}

(3.36)

a vztahem pro vodorovnou výztuž:

\begin{gathered}
A_\text{sw,h}\ge(1-\beta)\cdot0{,}30A_\text{s,main}
\end{gathered}

(3.37)

kde je

A_s,main … průřezová plocha hlavní tahová výztuž konzoly.

Množství konstrukční svislé a vodorovné výztuže se podle výše uvedených předpisů uvedených v kap. 3. odlišuje. Je doporučeno:

• navrhnout minimálně dva podélné vodorovné třmínky menšího průměru (obvykle 6 až 10 mm), plocha těchto třmínků u krátkých konzol by měla být větší než 50 % [8] hlavní tahové výztuže. Přitom vodorovné třmínky jsou umístěny obvykle jako třmínky sloupu první od vnějšího líce prvku;
• navrhnout minimálně tři svislé třmínky menšího průměru (obvykle 6 až 10 mm), u dlouhých konzol by měly svislé třmínky přenést minimálně sílu 0,7F_Ed [8] až 1,0F_Ed [13]. Svislé třmínky jsou obvykle umístěny jako druhé od líce sloupu v úrovni s podélnou výztuží sloupu – viz obr. 3.11 a obr. 3.12.

3.3 KONZOLOVÝ NOSNÍK

Konzolové nosníky mají vyložení větší než 2h_c. Podle Saint Venantova předpokladu je délka poruchové oblasti přibližně rovná výšce oblasti. Při zatížení osamělým břemenem vzniká jedna poruchová oblast přímo pod břemenem a druhá oblast v místě uložení. Obě oblasti na sebe navazují a jejich maximální délka je 2h_c. Pro delší nosníky, jak 2h_c se oblast B mezi poruchovými oblastmi D řeší běžnými metodami založenými na teorii nosníků. Napojení nosníku na sloup se řeší jako rámový roh viz [31].

3.4 NEPŘÍMO ZATÍŽENÉ KONZOLY

Nepřímo zatížené konzoly jsou konzoly zatížené při spodním líci (nepřímé uložení – viz kap. 2.4. Jedná se například o monolitický nosník vynášený konzolou, nosník tedy tvoří část konzoly sloupu – viz obr. 3.14. Při řešení nepřímo zatížených konzol se předpokládá, že část zatížení se přenáší svislou taženou výztuží k hornímu líci konzoly a zbývající část přímo šikmou výztuží do sloupu. Zatížení přenesené svislou výztuží k hornímu líci konzoly se dále přenáší do sloupu jako u přímo zatížených konzol.

Obr.  3.14 Nepřímo zatížené konzoly

Svislá tahová výztuž:

\begin{gathered}
F_\text{tv}=F_\text{Ed}\cdot\chi
\end{gathered}

(3.38)

Šikmá výztuž:

\begin{gathered}
F_\text{ts}=F_\text{Ed}(1-\chi)/\sin\alpha
\end{gathered}

(3.39)

Tlaková síla:

\begin{gathered}
F_\text{c}=F_\text{Ed}(1-\chi)/\cot\alpha
\end{gathered}

(3.40)

kde je

α … úhel sklonu šikmé výztuže;

χ … součinitel rozložení tahu do šikmé a svislé části tahové výztuže.

Vznikající tlakovou sílu F_c nutno zahrnout do řešení styčníku 1 (viz předcházející kapitoly). Tahovou sílu F_tv vynese svislá výztuž k hornímu líci konzoly a s jejími účinky dále počítáme jako u přímo zatížené konzoly viz kap. 3.2. Šikmou tahovou sílu F_ts vynáší šikmá výztuž přímo do sloupu, kde je nutné ji dostatečně zakotvit (kotvíme na kotevní délku při odvráceném líci sloupu). Rozdělení tahových sil na svislou a šikmou složku závisí především na možnostech vyztužení oblasti, šikmá výztuž je účinnější, ale komplikuje vyztužení oblasti, proto se doporučuje využívat spíše vynesení svislou tahovou silou F_ts k hornímu líci konzoly a šikmou výztuž konstrukčně doplnit podle možností vyztužení oblasti. Výztuž konzoly je nutné umístit tak, aby nebyla v kolizi s průběžnou výztuží sloupu a výztuží vynášeného nosníku viz obr. 3.14. Umístění výztuže vždy určuje geometrii modelu náhradní příhradoviny – určuje polohu táhel.

3.5 VLIV NEPŘESNOSTÍ PŘI VÝROBĚ A MONTÁŽI PRVKU S KONZOLAMI

Při návrhu konzol a ozubů je nutné zohlednit výrobní a montážní tolerance. I při dodržení přípustných tolerancí při výrobě prvků a při velmi pečlivé montáži může být rameno vnějších sil působících na konzole odlišné od hodnoty uvažované ve statickém výpočtu. Mezi výrobní tolerance prvku musíme uvažovat i nepřesnost v uložení výztuže. Poloha výztuže ovlivňuje i geometrii použitého modelu náhradní příhradoviny [28].

Pro lokalizaci místa uložení je doporučeno použít úložné prvky například neoprénová či jiná ložiska. Při malých zatíženích lze použít i maltové lože. Ložiska koncentrují zatížení do styčné plochy, která musí být dostatečně vzdálena od hrany prvku, aby nedošlo k ulomení jeho hrany. Pod ložiskem uvažujeme rovnoměrné roznesení zatížení.

Obr. 3.15 Konzola s ozubem – minimální rozměry a tolerance vyztužení vodorovnými smyčkami

Obr. 3.16 Konzola s ozubem – minimální rozměry a tolerance vyztužení svislými smyčkami

Délku uložení a (obr. 3.15 a obr. 3.16) lze vyjádřit následovně:

\begin{gathered}
a\ge a_1+d_2+d_3+\Delta d
\end{gathered}

(3.41)

kde je

a … délka uložení;

σ_Ed … napětí v betonu pod ložiskem σ_Ed = F_Ed/(a₁ · b₁),

a₁ … základní (čistá) délka ložiska, pro kterou platí a₁ = F_Ed/(b₁ · f_Rd), ne však menší jak hodnota uvedená v tab. 3.1 podle [1], [4], [3] a [10];

F_Ed … návrhová hodnota reakce v uložení;

b₁ … šířka ložiska, pokud je b₁ ≤ 600 mm a prvek je uložen do maltového lože nebo na neoprénové či jiné ložisko, lze uvažovat rovnoměrné roznesení v příčném směru;

f_Rd … návrhová hodnota pevnosti v uložení:

• f_Rd = 0,4f_cd pro suché uložení bez ložiska nebo malty;
• f_Rd = f_bed ≤ 0,85f_cd pro všechny ostatní případy.

f_cd … návrhová pevnost betonu v tlaku, uvažuje se menší z hodnot konzoly a ozubu;

f_bed … návrhová pevnost materiálu ložiska;

d₂ … vzdálenost ložiska ke kraji podporujícího prvku pro redukci odštěpení prvku:

• při vyztužení vodorovnými smyčkami (obr. 3.15) platí d₂ > a₂ ≥ c₁ + c₂;
• při vyztužení se svisle kotvenou výztuží (obr. 3.16) platí d₂ > a₂ + r₂ ≥ c₁ + c₂ + r₂.

roznášení v betonové krycí vrstvě je uvažováno pod úhlem 45°;

c₁, c₂ … betonové krytí výztuže podporujícího prvku;

a₂ … předpokládaná minimální neúčinná vzdálenost k vnějšímu líci podporujícího prvku, hodnota a₂ podle [1] a [10] je v tab. 3.2;

d₃ … vzdálenost ložiska ke kraji podporovaného prvku pro redukci odštěpení prvku:

• při vyztužení vodorovnými smyčkami platí d₃ > a₃ ≥ c₃ + c₄;
• při vyztužení se svisle kotvenou výztuží platí d₃ > a₃ + r₃ ≥ c₃ + c₄ + r₃.

c₃, c₄ … betonové krytí výztuže podporovaného prvku;

a₃ … předpokládaná minimální neúčinná vzdálenost k vnějšímu líci podporovaného prvku, hodnota a₃ podle [1] a [10] je v tab. 3.3;

Δd … celková mezní odchylka uložení, která lze vyjádřit ;

\begin{gathered}
\Delta d=\sqrt{\Delta a_2^2+\Delta a_3^2}
\end{gathered}

Δa₂ … mezní odchylka pro světlé vzdálenosti mezi podporujícími prvky – viz tab. 3.4;

Δa₃ … mezní odchylka délky podporovaného prvku Δa₃ = l_n/2 500;

l_n … délka podporovaného prefabrikátu – prvku;

r₂, r₃ … jsou vnitřní poloměry zakřivení výztuže ve svislém směru podpírajícího a podporovaného prvku, význam uvedených a dalších veličin je patrný také z obr. 3.17.

Obr. 3.17 Montážní tolerance prefabrikovaných prvků

Pro jednotlivé prostě uložené prefabrikáty bez možnosti redistribuce je doporučeno délku ramena vnější síly a zvětšit o 20 mm. Pokud se použijí posuvná ložiska, je nutné délku uložení příslušně upravit podle délky předpokládaného posunu.

Při výrobě prvků dochází k nepřesnostem. Podle [4] a [5] je výrobní délková tolerance tyčových prvků:

\begin{gathered}
\Delta L=\pm(10+L/1\space000)\le\pm40\text{ mm}
\end{gathered}

(3.42)

kde je

L … délka prefabrikátu.

Pro průřezové rozměry velikostí odpovídajících konzole a ozubu je návrhová odchylka rozměru ±15 mm. Návrhová odchylka v poloze výztuže je +15 mm a -10 mm [3]. Při montáži sloupů rovněž dochází k nepřesnostem. Přípustné odchylky v uložení prvků jsou definovány v [3] a [4]. Poloha sloupu ve vodorovném směru má návrhovou odchylku ±25 mm (obr. 3.17). Návrhová odchylka délky volného prostoru mezi sloupy, a tím i mezi líci konzol je větší z hodnot L/600 a ±25 mm (obr. 3.17). Návrhová odchylka svislosti sloupů je větší z hodnot ±H/300 a ±15 mm. Pro vodorovné dílce platí vodorovná odchylka od osy ±25 mm a prostor mezi prvky – větší z hodnot ±L/500 a ±15 mm, maximálně 40 mm.

Poloha osy ložiska má toleranci Δ vůči okraji prvku podle [3]. Hodnota Δ je větší z hodnot ±l /20 a ±15 mm podle obr. 3.17 (kde l je délka od okraje prvku – v obr. 3.17 označeno l₀ (u ozubu nosníku) resp. l_k (u konzoly)). Ve většině případů ozubů a konzol v pozemním stavitelství bude rozhodovat hodnota tolerance Δ = ±15 mm. Polohu osy ložiska potřebujeme při výpočtu konzoly a ozubu, v obou případech budeme uvažovat nepříznivější hodnotu, tedy posun osy k okraji prvku. Příklady velkých tolerancí jsou na obr. 3.18 a obr. 3.19.

Změnu návrhového modelu D-oblastí mohou ovlivnit i odchylky v poloze výztuže a rozměrové odchylky průřezů jednotlivých oblastí. Pro analýzu uvedených odchylek chybí dostatečné soubory měření a v době návrhu oblastí nebudou většinou k dispozici. Pro to je vhodné posunout při návrhu oblasti působiště síly nebo reakce o 1/6 a1 k vnějšímu líci ložiska.

Tab. 3.1  Minimální šířka ložiska a₁ v [mm]

Tab. 3.2  Minimální délka a₂ v [mm] od kraje podporující konstrukce

Tab. 3.3 Minimální délka a₃ v [mm] od kraje podporované konstrukce

Tab. 3.4  Mezní hodnota Da₂ v [mm] světlé vzdálenosti mezi líci podpěr

Obr. 3.18  Příliš velké tolerance v uložení nosníků na konzolách

Obr. 3.19 Velká tolerance v uložení předpjatého nosníku a posun těžiště opření

3.6 SPECIÁLNÍ VÝZTUŽ PRO KONZOLY

Použití speciální tahové výztuže ve formě trnů s kovanými hlavicemi (viz obr. 3.20) je možné pouze v souladu s příslušným stavebně technickým osvědčením například Z-15.6-204 z 2. 11. 2007. Metoda vychází z modelu příhradové analogie podle DAfStb 425. Návrh nosného systému konzoly se sloupem je nutné provádět podle jednoho předpisu například podle ČSN EN 1992-1-1:2006 [1]. Při použití smykových trnů je nutné v návrhu zohlednit rozdíly v návrhových postupech a v národních parametrech. Řešení může být výhodné pro sloupy s dodatečně betonovanými konzolami.

Pro maximální posouvající sílu na konzole platí:

\begin{gathered}
V_\text{Ed}=F_\text{Ed}\le V_\text{Rdmax}=0{,}5\cdot v_\text{DIN}\cdot b\cdot z\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(3.43)

kde

\begin{gathered}
v_\text{DIN}\ge(0{,}7-f_\text{ck}/200)\ge0{,}5
\end{gathered}

V návrhové pevnosti betonu v tlaku se neuvažuje součinitel a_cc. Návrhová pevnost se vyjádří podle vztahu

\begin{gathered}
F_\text{cd}=f_\text{ck}/\gamma_\text{c}
\end{gathered}

Součinitel a_cc, který zohledňuje dlouhodobé účinky na pevnost betonu v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu zatěžování, je již obsažen v hodnotě V_Rd,max

Rameno vnitřních sil z odhadneme hodnotou z = 0,9d.

V dalším kroku se stanoví hlavní tahová síla F_t.

\begin{gathered}
F_\text{t}=F_\text{Ed}\frac{a_\text{c}}{z_0}+H_\text{Ed}\frac{a_\text{H}+z_0}{z_0}
\end{gathered}

(3.44)

kde je

a_H … vzdálenost působiště vodorovné síly od těžiště hlavní tažené výztuže (měřeno ve svislém směru);

z₀ … poloha tlačeného pasu, která se vyjádří podle vztahu

\begin{gathered}
z_0=d(1-0{,}4\cdot V_\text{Ed}/V_\text{Rd,max})
\end{gathered}

Obr. 3.20  Příklad speciální výztuže v konzolách

Dále je nutné splnit podmínku a_c/z₀ ≥ 0,40 pro monolitické konzoly a podmínku a_c/z₀ ≥ 1,00 pro konzoly s pracovní spárou mezi sloupem a konzolou. Pracovní spára musí splňovat svým povrchem podmínky stavebně technického osvědčení Z-15,6-204.

Staticky nutná plocha hlavní tahové výztuže ve formě trnů s kovanými hlavami (např. HSC Halfen) se vypočte podle vztahu:

\begin{gathered}
A_\text{s}=F_\text{t}/f_\text{yd}
\end{gathered}

(3.45)

Pro zajištění příčného tahu v oblasti zakotvení hlavic trnů je nutno vložit svislý uzavřený třmínek za hlavici trnu. Třmínek musí obepínat všechny trny. Průměr třmínku je stanoven jako 40 % průměru trnu. Další svislá výztuž se navrhuje stejně jako v metodě podle DAfStB 525 [8] – viz předchozí kapitoly. Vodorovná výztuž se obvykle neuvažuje, proto nemůže být únosnost stejná jako u monoliticky prováděných konzol.

3.7 PŘÍKLADY

3.7.1 Krátká konzola

Navrhněte výztuž konzoly prefabrikovaného sloupu zatížené F_Ed = 300 kN a vodorovnou silou H_Ed = 0,2 · 300 = 60 kN. Konzola je z betonu třídy C40/50, betonářská výztuž B500B, betonová krycí vrstva 20 mm. Tvar konzoly je definován obr. 3.21. Z hlediska výrobních a montážních nepřesností uvažována excentricita v uložení 20 mm (celkem).

Obr. 3.21

Materiály

Beton C40/50:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=26{,}7\text{ MPa};\space f_\text{ctd}=1{,}67\text{ MPa};\space f_\text{bd}=3{,}75\text{ MPa};\space v'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}84
\end{gathered}

Styčník s tlakovými silami CCC:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=1{,}0\cdot v'f_\text{cd}=22{,}4\text{ MPa}
\end{gathered}

Styčník s táhlem CCT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85\cdot v'f_\text{cd}=19{,}04\text{ MPa}
\end{gathered}

Betonová vzpěra se vznikem trhlin:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6\cdot v'f_\text{cd}=13{,}44\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text{ MPa};\space\varepsilon_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

LOŽISKO ESZ Typ 200, t = 10 mm

\begin{gathered}
\sigma_\text{cd}=\frac{300\cdot10^{-3}}{0{,}17\cdot0{,}23}=7{,}67\text{ MPa}
\end{gathered}

Návrh hlavní tahové výztuže

Předpokládáme dvě vrstvy výztuže, vzdálenost těžiště hlavní tahové výztuže od horního líce konzoly odhadneme na d‘ = 56 mm.

Účinná výška průřezu je:

\begin{gathered}
d=h_\text{c}-d'=0{,}45-0{,}056=0{,}394\text{ m}
\end{gathered}

Šířka tlačené oblasti x₁ je:

\begin{gathered}
x_1=\frac{F_\text{Ed}}{b\cdot\sigma_\text{Rd,max}}=\frac{0{,}300}{0{,}35\cdot22{,}4}=0{,}038\text{ m}
\end{gathered}

Rameno vnější síly:

\begin{gathered}
a=a_\text{c}+0{,}5x_1+\frac{H_\text{Ed}}{F_\text{Ed}}(d'+0{,}01)=0{,}175+0{,}019+0{,}2\cdot0{,}066=0{,}207\text{ m}
\end{gathered}

Výška tlačené oblasti y₁ je:

\begin{gathered}
y_1=d-\sqrt{d^2-2\cdot x_1\cdot(a+H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d'+\Delta h))}\\\\
y_1=0{,}394-\sqrt{0{,}394^2-2\cdot0{,}038(0{,}207+0{,}2(0{,}066)}=0{,}022\text{ m}
\end{gathered}

Rameno vnitřních sil:

\begin{gathered}
z=d-0{,}5y_1=0{,}394-0{,}022/2=0{,}383\text{ m}
\end{gathered}

Úhel sklonu tlačené diagonály je

\begin{gathered}
\cot\theta=a/z=0{,}207/0{,}383=0{,}541\to\theta=61{,}6\degree
\end{gathered}

Vodorovná tahová síla:

\begin{gathered}
F_\text{t}=F_\text{Ed}\cdot\frac{a}{z}+H_\text{Ed}=300\cdot0{,}541+60=222{,}4\text{ kN}
\end{gathered}

Hlavní tahová výztuž při horním líci konzoly je:

\begin{gathered}
A_\text{s}=\frac{222400}{435}=512\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrhneme dvě smyčky ø12 mm ve dvou vrstvách (celkem 8 profilů) A_s = 905 mm²

Zakotvení v uzlu 2, rozhodující výztuž ve formě dvou smyček o průřezu ø12 mm

Základní kotevní délka výztužného prutu je:

\begin{gathered}
l_\text{b,req}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{12\cdot435\cdot(512/905)}{4\cdot3{,}75}=197\text{ mm}
\end{gathered}

Obr.  3.22

Návrhová kotevní délka výztužných prutů ø12 mm je

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{b,req}=0{,}7\cdot197=138\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

kde je

l_b,min … minimální kotevní délka;

l_b,min ≥ max [0,3 · l_b,rqd;  10 · ø; 100 mm].

Pro smyčku je třeba překontrolovat minimální vnitřní průměr zakřivení prutu podle [1]. Kontrola je nutná provést jak u krajní, tak i u vnitřní smyčky, aby nedošlo k podrcení betonu ve smyčce. Z toho vyjde minimální vzdálenost smyček od sebe.

V jedné větvi smyčky je tah:

\begin{gathered}
F_\text{bt}=0{,}000113\cdot435\space000\cdot\frac{512}{905}=27{,}8\text{ kN}\\\\
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{27{,}8\cdot10^{-3}}{26{,}7}\bigg(\frac{1}{0{,}034}+\frac{1}{0{,}024}\bigg)=74\text{ mm}
\end{gathered}

kde je

a_b … vzdálenost osy prutu od líce prvku 20 + 8 + 6 = 34

popřípadě poloviční vzdálenost mezi smyčkami 25 mm, ø_m,min = 85 mm

Obr.  3.23

Vnitřní průměr zakřivení smyčky z profilu ø12 mm navrhneme 84 mm (7ø). Kotevní délka prutu od kraje styčné desky je délka osy čtvrtiny kruhu 75 mm a rovné části pod styčnou deskou 143 mm – celkem 218 mm, zakotvení výztužné smyčky vyhovuje. Jako hlavní tahovou výztuž navrhneme dvě smyčky z průměru 12 mm nad sebou.

Zakotvení hlavní tahové výztuže za vnitřním styčníkem ve sloupu (uvažujeme špatné podmínky soudržnosti)

\begin{gathered}
f_\text{bd}=3{,}75\cdot0{,}7=2{,}63\text{ MPa}\\\\
l_\text{b,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{12\cdot435\cdot(512/905)}{4\cdot2{,}63}=280\text{ mm}
\end{gathered}

Obr.  3.24

Posouzení tlačené betonové diagonály

V tlačené diagonále je síla:

\begin{gathered}
F_\text{c}=F_\text{Ed}/\sin\theta=\frac{300}{\sin\theta}=341\text{ kN}
\end{gathered}

délka diagonály je:

\begin{gathered}
H=\sqrt{a^2+z^2}=436\text{ mm}
\end{gathered}

Sklon diagonály dle předchozího výpočtu je θ = 61,6°. Šířka diagonály se stanoví podle vztahu (1.8) pro úplně nespojité oblasti:

\begin{gathered}
b_\text{ef}=0{,}5\cdot H+0{,}65\cdot a=0{,}5H+0{,}65\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}=0{,}246\text{ m}
\end{gathered}

Poznámka:
ve vzorci a je šířka betonové vzpěry na hranici styčníku nikoliv rameno vnější síly – viz kap. 1 vztah (1.8)

Šířka tlačené diagonály 350 mm. V tlačené diagonále je napětí:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=0{,}341/(0{,}246\cdot0{,}35)=3{,}96\le0{,}6\cdot v'f_\text{cd}=13{,}44\text{ MPa}
\end{gathered}

Napětí v tlačené diagonále vyhovuje.

Návrh svislé a vodorovné výztuže

Pro návrh vodorovné a svislé výztuže se vychází ze sklonu tlačené diagonály nebo z poměru vyložení konzoly k její výšce. Podle EC2 [1] je kritérium pro krátkou konzolu a_c/h_c = 0,175/0,45 = 0,389 ≤ 0,5, jedná se o krátkou konzolu.

Vyztužení podle konstrukčních kritérií:

• minimálně dva vodorovné třmínky o průměru 6 až 8 mm, plocha třmínků u krátkých konzol by měla být nejméně 25 % hlavní tahové výztuže. Tedy A_swh = 0,25 · 512 = 128 mm² … návrh 4 dvoustřižné třmínky ø8 A_swh = 402 mm²;
• doporučeno minimálně tři svislé třmínky o průměru 6 až 8 mm, navrženy konstrukčně 3 třmínky ø6 mm A_vwv = 170 mm².

Přesnější určení vodorovné a svislé výztuže podle metody hlavní diagonály – vztuž pro zachycení příčných tahů vznikajících v betonové vzpěře:

V tlačené diagonále je síla F_c = 341 kN, délka diagonály je 436 mm. Příčný tah v tlačené diagonále při použití zjednodušení:

\begin{gathered}
T=2\cdot0{,}22\cdot F_\text{c}=2\cdot0{,}22\cdot341=150\text{ kN}
\end{gathered}

Příčný tah je nutno rozložit do svislého a vodorovného směru.

Plocha vodorovné výztuže:

\begin{gathered}
A_\text{swh}=\frac{T\cdot\sin\theta}{f_\text{yd}}=A_\text{swh}=\frac{150\space000\cdot\sin61{,}6\degree}{435}=303\text{ mm}^2
\end{gathered}

Plocha svislé výztuže:

\begin{gathered}
A_\text{swh}=\frac{T\cdot\cos\theta}{f_\text{yd}}=A_\text{swh}=\frac{150\space000\cdot\cos61{,}6\degree}{435}=164\text{ mm}^2
\end{gathered}

Výše navržená výztuže vyhovuje.

Výztuž konzoly je na obr. 3.25.

Přesnějším vyjádřením příčných tahů podle vztahu 1.6 obr. 1.7b dostaneme nižší hodnoty příčné konstrukční výztuže.

Napětí v betonu pod ložiskem:

\begin{gathered}
\sigma=0{,}300/(0{,}18\cdot0{,}20)=8{,}33\text{ MPa}
\end{gathered}

a

\begin{gathered}
\tau=0{,}060/(0{,}18\cdot0{,}20)=1{,}67\text{ MPa}
\end{gathered}

Napětí pod ložiskem vyhovuje.

Obr.  3.25

3.7.2 Dlouhá konzola

Navrhněte výztuž konzoly prefabrikovaného sloupu zatížené F_Ed = 500 kN a vodorovnou silou H_Ed = 100 kN. Konzola je z betonu třídy C50/60, betonářská výztuž B500B, betonová krycí vrstva 25 mm (třmínků). Montážní a výrobní tolerance je uvažována hodnotou 20 mm (celkem).

Obr. 3.26  Příklad konzoly 2

Materiály

Beton C50/60:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=33{,}3\text{ MPa};\space f_\text{ctd}=1{,}93\text{ MPa};\space f_\text{bd}=4{,}26\text{ MPa};\space v'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}8
\end{gathered}

Styčník s tlakovými silami CCC:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=1{,}0\cdot v'f_\text{cd}=26{,}7\text{ MPa}
\end{gathered}

Styčník s táhlem CTC:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85\cdot v'f_\text{cd}=22{,}7\text{ MPa}
\end{gathered}

Betonová vzpěra se vznikem trhlin:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6\cdot v'f_\text{cd}=16{,}0\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text{ MPa};\space\varepsilon_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

Ložisko ESZ Typ 200, t = 10 mm

\begin{gathered}
\sigma_\text{cd}=\frac{500\cdot10^{-3}}{0{,}20\cdot0{,}30}=8{,}33\text{ MPa}
\end{gathered}

Návrh hlavní tahové výztuže

Předpokládáme dvě vrstvy výztuže, těžiště výztuže odhadneme na d‘ = 60 mm

Účinná výška průřezu je

\begin{gathered}
d=h_\text{c}-d'=0{,}40-0{,}06=0{,}34\text{ m}
\end{gathered}

Šířka tlačené oblasti x₁:

\begin{gathered}
x_1=\frac{F_\text{Ed}}{b\cdot\sigma_\text{Rd,max}}=\frac{500\cdot10^{-3}}{0{,}4\cdot26{,}7}=0{,}047\text{ m}
\end{gathered}

Rameno vnější síly:

\begin{gathered}
a=a_\text{c}+0{,}5x_1+\frac{H_\text{Ed}}{F_\text{Ed}}(d'+0{,}01)=0{,}22+0{,}0235+0{,}2\cdot0{,}07=0{,}258\text{ m}
\end{gathered}

Výška tlačené oblasti y₁:

\begin{gathered}
y_1=d-\sqrt{d^2-2\cdot x_1\cdot(a+H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d'+\Delta h))}\\\\
y_1=0{,}34-\sqrt{0{,}34^2-2\cdot0{,}047(0{,}258+0{,}2(0{,}07)}=0{,}04\text{ m}
\end{gathered}

Rameno vnitřních sil:

\begin{gathered}
z=d-0{,}5y_1=0{,}34-0{,}04/2=0{,}32\text{ m}
\end{gathered}

Úhel sklonu tlačené diagonály:

\begin{gathered}
\cot\theta=a/z=0{,}258/0{,}32=0{,}806\to\theta=51{,}1\degree
\end{gathered}

Vodorovná tahová síla:

\begin{gathered}
F_\text{t}=F_\text{Ed}\cdot\frac{a}{z}+H_\text{Ed}=500\cdot0{,}802+100=501{,}2\text{ kN}
\end{gathered}

Hlavní tahová výztuž při horním líci konzoly:

\begin{gathered}
A_\text{s}=\frac{501\space200}{435}=1\space153\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrhneme čtyři smyčky Æ16 mm A_s = 1 608 mm²

Zakotvení v uzlu 2 (pod styčnou deskou – ložiskem)

Základní kotevní délka výztužného prutu je:

\begin{gathered}
l_\text{b,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{16\cdot435\cdot1\space153/1\space608}{4\cdot4{,}26}=292\text{ mm}
\end{gathered}

Obr.  3.27

Návrhová kotevní délka výztužných prutů Æ16 mm:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{b,rqd}=0{,}7\cdot292=205\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

kde je

l_b,min … minimální kotevní délka;

l_b,min ≥ max [0,3 · l_b,rqd; 10 · ø; 100 mm].

Pro smyčku je třeba překontrolovat minimální vnitřní průměr zakřivení prutu. Kontrola je nutná provést jak u krajní, tak i u vnitřní smyčky, aby nedošlo k podrcení betonu ve smyčce. Z toho vyjde minimální vzdálenost smyček od sebe.

V jedné větvi smyčky je tah:

\begin{gathered}
F_\text{bt}=0{,}000201\cdot435\space000\cdot1\space153/1\space608=62{,}7\text{ kN}\\\\
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{62{,}7}{33{,}3}\bigg(\frac{1}{0{,}041}+\frac{1}{0{,}032}\bigg)=105\text{ mm}
\end{gathered}

kde je

a_b … vzdálenost osy prutu od líce prvku 25 + 8 + 8 = 41 mm,

popřípadě poloviční vzdálenost mezi smyčkami minimálně 35 mm (nutno upřesnit model náhradní příhradoviny – viz počáteční předpoklad vzdálenosti vrstev 60 mm).

Obr.  3.28

Vnitřní průměr zakřivení smyčky z profilu ø16 mm navrhneme 7d_s = 112 mm. Kotevní délka prutu od kraje styčné desky je délka osy čtvrtiny kruhu výztuže 101 + 136 = 237 mm, zakotvení výztužné smyčky vyhovuje.

Zakotvení hlavní tahové výztuže za vnitřním styčníkem ve sloupu (uvažujeme špatné podmínky soudržnosti):

\begin{gathered}
l_\text{b,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{16\cdot435\cdot(1\space153/1\space608)}{4\cdot3{,}05}=409\text{ mm}
\end{gathered}

Obr.  3.29

V tlačené diagonále je síla:

\begin{gathered}
F_\text{c}=F_\text{Ed}/\sin\theta=\frac{500}{\sin\theta}=641\text{ kN}
\end{gathered}

Sklon tlačené diagonály – viz výše θ = 51,1

Délka diagonály:

\begin{gathered}
H=\sqrt{a^2+z^2}=411\text{ mm}
\end{gathered}

Šířka diagonály:

\begin{gathered}
b_\text{ef}=0{,}5\cdot H+0{,}65\cdot a=0{,}5H+0{,}65\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}=0{,}245\text{ m}
\end{gathered}

Poznámka:
ve vzorci a je šířka betonové vzpěry na hranici styčníku nikoliv rameno vnější síly – viz kap. 1 vztah (1.8).

Průřez tlačené diagonály 0,098 m².

V tlačené diagonále je napětí:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=0{,}641/(0{,}245\cdot0{,}4)=6{,}54\le0{,}6\cdot v'f_\text{cd}=16{,}0\text{ MPa}
\end{gathered}

Napětí v tlačené diagonále vyhovuje.

Návrh svislé a vodorovné výztuže

Pro návrh vodorovné a svislé výztuže se vychází ze sklonu tlačené diagonály nebo z poměru vyložení konzoly k její výšce.

Podle sklonu tlačené diagonály a/z = cot θ ≥ 0,5 se jedná o konzolu dlouhou. Podle EC2 [1] je též a_c/h_c = 0,22/0,40 = 0,55 ≥ 0,5.

Vyztužení podle konstrukčních kritérií:

Doporučeny minimálně dva vodorovné třmínky o průměru 6 až 8 mm;

Minimálně tři svislé třmínky o průměru 6 až 8 mm, u dlouhých konzol by měly svislé třmínky přenést minimálně sílu 0,5 F_Ed. Tedy A_swv = 0,5 · 500 000/435 = 575 mm² návrh 4 dvojstřižné třmínky ø10 = 628 mm².

Přesnější vyjádření podle metody hlavní diagonály:

V tlačené diagonále je síla F_c = 641,1 kN, délka diagonály je 411 mm. Příčný tah v tlačené diagonále při použití zjednodušení:

\begin{gathered}
T=2\cdot0{,}22\cdot F_\text{c}=2\cdot0{,}22\cdot641{,}1=282\text{ kN}
\end{gathered}

Příčný tah je nutno rozložit do svislého a vodorovného směru.

Plocha vodorovné výztuže:

\begin{gathered}
A_\text{swh}=\frac{T\cdot\sin\theta}{f_\text{yd}}=A_\text{swh}=\frac{282\space000\cdot\sin51{,}3\degree}{435}=506\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrženy 4 dvojstřižné třmínky ø10 A_s = 628 mm².

Plocha svislé výztuže:

\begin{gathered}
A_\text{swh}=\frac{T\cdot\cos\theta}{f_\text{yd}}=A_\text{swh}=\frac{282\space000\cdot\cos51{,}3\degree}{435}=405\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrženy 4 dvojstřižné třmínky ø10 A_s = 628 mm².

Přesnějším vyjádřením příčných tahů podle vztahu 1.6 obr. 1.7b dostaneme nižší hodnoty příčné konstrukční výztuže.

Výztuž konzoly je znázorněna na obr. 3.30.

Napětí pod ložiskem:

\begin{gathered}
\sigma=0{,}500/(0{,}20\cdot0{,}30)=8{,}33\text{ MPa}
\end{gathered}

a

\begin{gathered}
\tau=0{,}10/(0{,}20\cdot0{,}30)=1{,}67\text{ MPa}
\end{gathered}

Napětí pod ložiskem vyhovuje.

Obr.  3.30

4 NEPŘÍMO ULOŽENÉ KONZOLY (ZAVĚŠENÉ KONZOLY)

4.1 NEPŘÍMO ULOŽENÉ KONZOLY – ZAVĚŠENÉ KONZOLY

Nepřímo uložené konzoly (zavěšené konzoly) jsou z hlediska návrhu složitější než přímo uložené. Nepřímo uložené konzoly mohou být umístěny například při spodním líci trámů (obr. 4.1) nebo mohou být průběžné (obr. 4.9) nebo vícenásobné (obr. 4.10). Způsob uložení zavěšené konzoly velmi zásadním způsobem mění geometrii modelu náhradní příhradoviny. Na obr. 4.2) jsou zobrazeny nejčastější případy, kdy těžiště opření tlačené diagonály se uvažuje v těžišti třmínkové výztuže obepínající podélnou výztuž podporujícího prvku. Zatížení konzoly se přenáší hlavní tlačenou betonovou diagonálou do styčníku 1, který je oproti přímo uložené konzole posunut do oblasti podélné výztuže podporujícího prvku viz obr. 4.3 a obr. 4.4. Na obr. 4.2 je rozebrán jen vliv svislých zatížení. Pro návrh konzoly je nutné uvažovat i vodorovné zatížení v hodnotě minimálně H_Ed = 0,2F_Ed. Viz následující obr. 4.3 a obr. 4.4.

Obr. 4.1  Příklad nepřímé (zavěšené) konzoly

Obr. 4.2 Modely náhradní příhradoviny pro nepřímé (zavěšené) konzoly bez vlivu vodorovné síly

Obr. 4.3  Řešení styčníku 1 modelu náhradní příhradoviny pro jednostrannou nepřímou (zavěšenou) konzolu

Obr. 4.4  Řešení styčníku 1 modelu náhradní příhradoviny pro oboustrannou nepřímou (zavěšenou) konzolu

Ve styčníku 1 se setkávají dvě betonové vzpěry a jedno táhlo. Jedná se o styčník CTC [1], ve kterém se uvažuje pevnost betonu porušeného trhlinami. Táhlo představují přilehlé větve třmínků, které vynášejí zatížení k hornímu líci podporujícího prvku (proto se někdy uvádí termín zavěšená konzola místo nepřímo uložené konzoly). Třmínky podporujícího prvku tedy musí přenést nejen tahy od posouvající síly a kroucení podporujícího prvku, ale navíc i tah ze styčníku 1 odpovídající zatížení na konzole. Posunutím styčníku 1 do oblasti za třmínkovou výztuž podporujícího prvku se výrazně zkracuje rameno vnitřních sil a prodlužuje rameno vnější síly.

Umístění styčníku 1 vychází z předpokladu zakotvení tažené větve třmínku pomocí podélné krajní výztuže podporujícího prvku [28]. Vzhledem k opření tlakové diagonály lze bezpečně předpokládat, že styčník CTC je umístěn blízko těžiště krajní podélné výztuže podporujícího prvku (obr. 4.3 a obr. 4.4). Pokud je podporující prvek namáhán ohybem a v místě uložení konzoly dojde k rozvoji trhlin v oblasti tažené podélné výztuže, doporučuje se redukovat pevnosti betonu v místě styčníku 1. Pro nepřímo uložené konzoly uvažujeme styčník 1 typu CTC (obr. 1.12) (popřípadě CTT (obr. 1.15) pokud je konzola na nosníku s taženým spodním okrajem). Styčník uvažujeme nad třmínkovou výztuží nosníku, účinná výška d je tak snížena o betonovou krycí vrstvu a průměr třmínkové výztuže nosníku. Účinná výška konzoly je d = h – d‘ – c_nom + ø_sw,nosnik, účinnou výšku stanovíme obvyklým způsobem, je třeba odhadnout těžiště tažené výztuže při horním líci. Obvykle se uvažuje jedna vrstva výztuže. Vzdálenost těžiště výztuže od horního líce je d‘.

d'=c_\text{nom}+\phi_\text{sw}+0{,}6\phi

Nosníky s nepřímo uloženou konzolou mají nejčastěji tvar L-průřezu nebo obráceného T-průřezu (v místě konzoly). U těchto podporujících nosníků se musí vynášet zatížení z konzoly k hornímu líci nosníku (jedná se o nepřímé uložení – viz kap. 2.4). U oboustranných konzol se symetrickým zatížením se obvykle vynášející výztuž v krajních větvích třmínku u konzoly stanoví z celkového svislého zatížení konzol (při každé straně ΔT_t = –F_Ed) a přidává se ke standardní smykové výztuži. U jednostranných konzol nebo u nesymetricky zatížených konzol lze stanovit přírůstek tahu ve svislých třmínkách v místě konzoly (obr. 4.2) podle:

\begin{gathered}
\Delta T_\text{t}=-F_\text{Ed}(1+\frac{a}{b_\text{b}})\space \Delta F_\text{c}=F_\text{Ed}\frac{a}{b_\text{b}}
\end{gathered}

(4.1)

kde je

ΔT_t … přírůstek tahové síly v přilehlé větvi svislého třmínku od zatížení konzoly;

A … rameno vnější síly F_Ed;

b_b … osová vzdálenost větví svislých třmínků.

Uvedená hodnota vychází z momentové rovnováhy vodorovného řezu celým prvkem v úrovni horního líce konzoly k těžišti vzdálenější větve třmínku. Odtud stanovíme tlakovou sílu ΔF_c působící na opačné straně průřezu, než je konzola (obr. 4.2). Podle [36] je vztah (4.1) pro více vyložené konzoly (pro které platí a/b_b ≥ 0,5) velmi konzervativní a lze jej upravit na vztah:

\begin{gathered}
\Delta T_\text{t}=-F_\text{Ed}(\frac{5}{8}+\frac{3a}{4b_\text{b}})
\end{gathered}

(4.2)

Vztah (4.1) je sice konzervativní ale je optimální, pokud je výška konzoly výrazně menší, než je celková výška průřezu podporujícího prvku, a pokud pro vyložení konzoly platí a/b_b ≥ 0,5. Do hodnoty vyložení konzoly a/b_b ≤ 0,5 lze uvažovat ΔT_t = –F_Ed, při větším vyložení konzoly, síla v krajní větvi třmínku narůstá. Srovnání obou vztahů je na obr. 4.5 (převzato z [10] a [36]). Pro konzolové pásy se však doporučuje užívat konzervativní vztah (4.1).

Obr. 4.5  Přírůstek tahové síly v krajní větvi třmenu v závislosti na poměrném vyložení konzoly

Základní model pro návrh nepřímo uložené konzoly je na obr. 4.2a, b. Návrh vnitřních sil u nepřímo uložené konzoly vychází obdobně jako u přímo uložených konzol [27] z podmínky rovnováhy ve styčníku 1 ve svislém směru (obr. 4.3 a obr. 4.4). Odtud stanovíme šířku tlačené oblasti x₁ v ose krajní větve třmínku a nad těžištěm krajní podélné výztuže podporujícího prvku. Z momentové rovnováhy ve styčníku 1 stanovíme výšku tlačené oblasti y₁. V dalším stanovíme rameno vnitřních sil z a rameno vnějších sil a. Z jejich poměru dopočteme sklon tlačené diagonály θ. Hlavní tahovou sílu stanovíme z rovnováhy ve vodorovném směru ve styčníku 2, z rovnováhy ve svislém směru stanovíme pak tlakovou sílu v betonové diagonále. Jako u dlouhé konzoly je nutné navrhnout svislé třmínky v oblasti mezi lícem podporujícího prvku a vnitřním lícem styčné – ložiskové desky. Při návrhu použijeme vztahy uvedené u přímo uložené konzoly (kap. 3). Obdobně jako u přímo uložené konzoly je doporučeno uvažovat s vodorovnou silou minimální velikosti H_Ed = 0,20 F_Ed.

Nepřímo uložená konzola představuje rámový roh s kladným působením ohybového momentu. Při návrhu rámových rohů se doporučuje vkládat šikmou výztuž, která je účinnější na redukci vznikající poruchové trhliny než soustava ortogonální výztuže. Stejný princip můžeme použít i při vyztužování nepřímo uložených konzol. Model náhradní příhradoviny je na obr. 4.6. Šikmá tahová výztuž vynáší zatížení konzoly do oblasti blízké těžišti průřezu podporujícího nosníku. Tento model náhradní příhradoviny je však kinematický a není schopen přenášet žádná vodorovná zatížení. Proto se kombinuje s modelem na obr. 4.2. Model zobrazený na obr. 4.6 nelze použít pro přenos celého zatížení (maximálně lze uvažovat přenos 50 % celkového zatížení). Pokud použijeme kombinovaný model, je obtížné stanovit, jakou část zatížení přenáší model podle obr. 4.2 a jakou část model podle obr. 4.6. Reálné rozdělení zatížení vyplývá z poměru tuhostí jednotlivých modelů, které jsou obtížně stanovitelné. Proto lze použít podle [10] zjednodušení a navrhnout bezpečné vyztužení obou modelů na 60 % celkového svislého zatížení. Vodorovné zatížení je nutné přiřadit pouze k modelu podle obr. 4.2. Velmi důležité je překontrolovat dostatečné zakotvení tahové výztuže v příslušném styčníku. Při horním líci navrhujeme tahovou výztuž ve formě smyček a při návrhu kotvení lze využit kladný vliv tlaku pod styčnou deskou. Pro zakotvení šikmé výztuže je v rohu konzoly velmi málo prostoru a běžné kotvení smyčkami nevyhovuje – viz obr. 4.6. Obvykle je nutné řešit zakotvení šikmé tahové výztuže kotevními spojkami nebo přivařenou kotevní deskou. Pokud v návrhu nevyužijeme únosnost šikmé tahové výztuže vzhledem ke krátké délce na zakotvení, je vhodné alespoň vkládat konstrukční šikmé pruty ve formě smyček.

Obr. 4.6  Model náhradní příhradoviny nepřímo uložené konzoly se šikmým táhlem

V praxi při návrhu zavěšených konzol se často používal i jiný model (obr. 4.7) podle [37]. Model vychází z předpokládaného průběhu poruchové trhliny. Předpokládá se, že poruchová trhlina vychází z taženého rohu konzoly a směruje šikmo ke spodnímu líci podporujícího prvku. Sklon trhliny lze uvažovat v souladu s [1] hodnotou 45°, maximálně však do poloviny šířky podporujícího trámu. Při experimentech bylo zjištěno, že poloha poruchové trhliny je obvykle posunuta směrem k vnitřní hraně styčné desky, předpokládaná poloha však dává nepříznivější výsledky, a proto se takto uvažuje. Šikmá trhlina oddělí z celkového prvku část konzoly, kterou předpokládáme dokonale tuhou.

Obr. 4.7  Model pro návrh nepřímo uložené konzoly – metoda poruchové trhliny

Při návrhu vyjdeme ze svislé síly v krajní větvi třmínku, z rovnováhy ve svislém směru vyplývá F_t = F_Ed. Dále odhadneme ohybový moment působící ve styčníku 2:

\begin{gathered}
M_\text{Ed}=F_\text{Ed}\cdot a_\text{v}\cdot H_\text{Ed}\cdot(h_\text{k}+\Delta h)
\end{gathered}

(4.3)

kde je

F_T … tahová síla v hlavní tažené výztuži;

B … šířka konzoly nebo šířka oblasti na které se roznáší zatížení konzoly;

H_Ed … vodorovné zatížení konzoly.

Rameno vnitřních sil uvažujeme přibližně

\begin{gathered}
z_\text{k}=h_\text{k}-d'-0{,}4x_\text{k}
\end{gathered}

(4.4)

kde výška tlačené oblasti x_k:

\begin{gathered}
x_\text{k}=\frac{M_\text{Ed}}{0{,}8b\cdot f_\text{cd}}
\end{gathered}

(4.5)

kde je

f_cd … návrhová pevnost betonu prvku.

Upřesněný ohybový moment působící ve styčníku 2:

\begin{gathered}
F_\text{t}\cdot z_\text{k}=F_\text{Ed}\cdot a_\text{k}\cdot H_\text{Ed}(z_\text{k}\cdot d'+\Delta h)
\end{gathered}

(4.6)

Odtud F_t = M_Ed/Z_k. Upřesní se x_k a postup se opakuje.

Uvedený postup modelu s poruchovou trhlinou nepřináší ve srovnání s metodou náhradní příhradoviny žádné výhody. Naopak tento model je založen na Bernoulliho hypotéze zachování rovinnosti deformovaného průřezu, která není splněna, protože se jedná o poruchovou oblast. Model předpokládá odtrhávanou část konzoly jako tuhé těleso, což také neodpovídá skutečnosti. Stanovené vnitřní síly v modelu s trhlinou jsou mírně menší, protože uvažovaná ramena vnitřních sil jsou větší než v modelu náhradní příhradoviny. Model náhradní příhradoviny představuje rovněž velké zjednodušení skutečnosti. Jedná se o zjednodušené řešení poruchové oblasti, které je na straně bezpečnosti. Pro přesná řešení poruchových oblastí je nutné použít software, umožňující nelineární výpočty a modelování výztuže podle skutečného návrhu prvku. Takový software je například program ATENA.

Při jednostranně zatížených konzolách vznikají v podporujících prvcích – průvlacích nebo trámech krouticí momenty. Krouticí momenty lze zredukovat pomocí speciálních zakotvení podle obr. 4.8. Při návrhu je vždy nutné uvedené zakotvení posoudit a posoudit prvek na všechny montážní stavy, při kterých ke kroucení bude docházet, pokud nebude prvek vhodně montážně podepřen. Příklady z obr. 4.8 redukují kroucení podporujícího prvku pouze v konečném stavu, nikoliv při montáži. Mezi konzoly a ozuby je třeba vždy vkládat podložky, které především vymezují polohu zatížení na jednotlivých prvcích – konzolách a ozubech a které zabraňují odštěpování hran prvků.

Obr. 4.8 Způsoby redukce kroucení průvlaku s jednostrannou konzolou

U nepřímo uložených konzol platí stejné zásady vyztužení jako u přímo uložených konzol.

Poznámka:
u nepřímo uložených konzol je nutné vždy posoudit vliv konzoly na vynášející nosník. Jedná se především o kroucení – nutno posoudit kroucení i během montážních stavů, ne jenom v konečném stavu smontované konstrukce. Dále je nutné, jako u všech nepřímo zatížených prvků, vynést svislé zatížení k hornímu líci prvku.

4.2 PRŮBĚŽNÉ KONZOLY A SMYKOVĚ NEVYZTUŽENÉ KONZOLY

Nepřímo uložené průběžné konzoly se užívají pro uložení deskových prvků s ozubem, jako jsou například schodišťová ramena, vložená desková dilatační pole a podobně (obr. 4.9). Průběžné konzoly u desek obvykle nemají smykovou výztuž jako konzoly a místo vodorovných výztužných smyček se konzola vyztužuje pouze svislými třmínky. Průběžné konzoly bývají méně zatížené. Pokud je napětí pod styčnou deskou menší než σ ≤ 0,08 f_ck, může být styčná deska posunuta blíže k okraji než u klasické konzoly. Její umístění je omezeno minimální vzdáleností jejího okraje od hrany konzoly a minimální vzdáleností působiště zatížení od středu ohybu svislého třmínku – viz obr. 4.9. Pokud uvažujeme roznášení v betonové krycí vrstvě pod 45°, tlačená betonová diagonála zasahuje až k líci konzoly a není ovinuta výztuží jako u klasických konzol. Předpokládá se tedy, že příčná tahová napětí v betonu nepřekročí hodnotu 0,5f_ctd (50 % návrhové pevnosti betonu v tahu). Z tohoto důvodu také není nutné navrhovat svislou a vodorovnou třmínkovou výztuž vlastního konzolového pásu, pro kterou není v běžných konzolových pásech dostatečné místo.

Obr. 4. 9 Konzolový pás – spojitá nepřímo uložená konzola, platí pro napětí pod styčnou deskou δ ≤ 0,08f_ck

Při návrhu průběžné konzoly je nutné, jako u klasické konzoly, navrhnout taženou výztuž při horním líci a překontrolovat únosnost tlačené betonové diagonály s tím, že vznikající příčné tahy musí spolehlivě přenést beton v tahu. Styčník 1 uvažujeme obdobně jako u nepřímo uložených konzol. Vzhledem k obvykle menšímu namáhání než u klasických konzol lze styčník 1 uvažovat tak, že jeho dolní líc je v úrovni dolního líce výztuže. Z polohy styčníku 1 vyplývá geometrie modelu a sklon tlačené betonové vzpěry θ. Postup je stejný jako u nepřímo uložených konzol. Šířku b uvažujeme buď v délce 1 m, nebo ve skutečné délce, např. u konzolových pásů pro uložení schodišťových ramen.

4.3 VÍCENÁSOBNÉ KONZOLY

Vícenásobné konzoly jsou konzoly, na kterých je uloženo více prvků – průvlaků, vazníků nebo trámů (obr. 4.10). Konzoly jsou zatíženy více silami v různých působištích. Pokud jsou těžiště zatížení v podélné ose konzoly a nedochází ke kroucení konzoly, lze použít upravené modely náhradní příhradoviny (obr. 4.10). Pro návrh vícenásobných konzol nesymetricky zatížených (dochází i ke kroucení konzoly) je možné využít pouze speciální software na nelineární prostorové výpočty – například ATENA 3D (obr. 4.13, obr. 4.14). Pokud podobný software při návrhu vícenásobné prostorově zatížené konzoly není dostupný, použijeme pro návrh vícenásobný model náhradní příhradoviny, popřípadě soustavu modelů náhradní příhradoviny na sebe navazující. Pro každé zatížení sestavíme zvláštní model náhradní příhradoviny. Společná místa, jako je například opření konzoly do sloupu – styčník 1 nebo hlavní tahová výztuž, musíme řešit společně pro všechny modely.

Obr. 4.10 Příklad vícenásobné konzoly

Pro vícenásobnou konzolu je model náhradní příhradoviny na obr. 4.10. Model náhradní příhradoviny je navržen podle předpisu [8]. Při návrhu se nejprve stanoví výška tlačené oblasti x₁ podle vztahu:

\begin{gathered}
x_1=\frac{F_\text{Ed1}}{b\cdot\sigma_\text{Rd,max}}+\frac{F_\text{Ed2}}{b\cdot\sigma_\text{Rd,max}}
\end{gathered}

(4.7)

kde je

b … šířka konzoly,

F_Ed1, F_Ed2 … svislá zatížení konzoly.

Obdobně jako u jednoduché konzoly stanovíme ramena vnějších sil a₁ a a₂. Hlavní tahovou sílu stanovíme z momentové podmínky a silové podmínky ve svislém směru ve styčníku 1 a dopočteme výšku tlačené oblasti.

U konzoly zatížené více silami je nutné vždy překontrolovat kroucení konzoly při nesymetrickém zatížení. Výztuž zachycující krouticí účinky se musí přidat k navržené výztuži konzoly v souladu s pravidly ČSN EN 1992-1-1:2006.

U prostorově zatížených vícenásobných konzol se postupuje obdobně. Zatížení rozložíme do základních směrů a řešíme každou oblast zvlášť. Zatížení se směrem k podporujícím prvkům sčítají. U konzoly zatížené více silami je nutné vždy překontrolovat kroucení konzoly při nesymetrickém zatížení. Výztuž zachycující krouticí účinky se musí přidat k navržené výztuži podporující konstrukce. Dále je nutné u složených konzol uvažovat všechny zatěžovací stavy včetně všech montážních zatěžovacích stavů.

4.4 PŘÍKLADY

4.4.1 Příklad průběžné konzoly

Navrhněte výztuž konzoly průvlaku zatížené F_Ed = 20 kN a vodorovnou silou H_Ed = 4 kN. Průvlak včetně konzoly je z betonu třídy C25/30, betonářská výztuž B500B, betonová krycí vrstva c_nom = 20 mm. Rozměry jsou definovány na obr. 4.11. Šířka konzoly je 1,0 m, délka ložiska je 0,90 m, tloušťka ložiska 5 mm. Montážní a výrobní tolerance je uvažována hodnotou +/-5 mm. Svislé třmínky a smyčky jsou profilu 8 mm.

Materiály

Beton C25/30:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=16{,}7\text{ MPa};\space\alpha_\text{cc}=1{,}0;\space\varepsilon_\text{cu3}=3{,}5\space‰;\space\eta=1{,}0{,}\lambda=0{,}8;\space v'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}9
\end{gathered}

Styčník se dvěma táhly CTT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}75\cdot v'f_\text{cd}=11{,}3\text{ MPa}
\end{gathered}

Betonová vzpěra se vznikem trhlin:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6\cdot v'f_\text{cd}=9{,}0\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text { MPa}\\\\
y_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

Obr. 4.11  Příklad nepřímo uloženého (zavěšeného) konzolového pásu

Návrh hlavní tahové výztuže

Předpokládáme jednu vrstvu výztuže, těžiště výztuže odhadneme na d‘ = 24 mm.

Účinná výška průřezu konzoly

\begin{gathered}
d=0{,}120-0{,}024=0{,}096\text{ m}
\end{gathered}

Návrh pomocí modelu náhradní příhradoviny. Vzhledem k malému zatížení průběžného deskové konzoly se uvažuje dolní líc styčníku 1 úrovni dolního líce výztuže – dolní větve třmínku (20 mm od dolního líce).

Šířka tlačené oblasti x_1:

\begin{gathered}
x_1=\frac{F_\text{Ed}}{b\cdot\sigma_\text{Rd,max}}=\frac{20\cdot10^{-3}}{1{,}0\cdot11{,}3}=0{,}018\text{ m}
\end{gathered}

Rameno vnější síly:

\begin{gathered}
a=a_\text{v}+\frac{H_\text{Ed}}{F_\text{Ed}}(d'+\Delta h)=0{,}07+0{,}024+0{,}2\cdot(0{,}024+0{,}005)=0{,}100\text{ m}
\end{gathered}

Výška tlačené oblasti y₁:

\begin{gathered}
y_1=d-\sqrt{d^2-2\cdot x_1\cdot(a+H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d'+\Delta h))}\\\\
y_1=0{,}096-\sqrt{0{,}096^2-2\cdot0{,}018(0{,}10+0{,}2(0{,}024+0{,}005))}=0{,}0224\text{ m}
\end{gathered}

Rameno vnitřních sil:

\begin{gathered}
z=d-y_1\cdot0{,}5-0{,}2=0{,}096-0{,}010-0{,}20=0{,}065\text{ m}
\end{gathered}

Úhel sklonu tlačené diagonály je

\begin{gathered}
\cot\theta=a/z=0{,}1/0{,}065=1{,}54\to\theta=33\degree
\end{gathered}

Vodorovná tahová síla:

\begin{gathered}
F_\text{t}=F_\text{Ed}\cdot\frac{a}{z}+H_\text{Ed}=20\cdot1{,}54+4=34{,}8\text{ kN}
\end{gathered}

Hlavní tahová výztuž při horním líci konzoly je A_s = 34 800/435 = 80 mm².

\begin{gathered}
A_\text{s}=34\space800/435=80\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrhneme pět smyček ø6 mm As = 141 mm² (svislých smyček).

Zakotvení za vzdálenější větví svislého třmínku.

Základní kotevní délka výztužného prutu:

\begin{gathered}
l_\text{b,rqd}=\frac{\varphi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{6\cdot435\cdot90/141}{4\cdot2{,}7}=154{,}3\text{ mm}
\end{gathered}

Návrhová kotevní délka výztužných prutů ø6 mm:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{b,rqd}=154{,}3\text{ mm}
\end{gathered}

Síla v betonové diagonále je

\begin{gathered}
F_\text{c}=F_\text{Ed}/\sin\theta=20/0{,}545=36{,}7\text{ kN}
\end{gathered}

Betonová diagonála má délku:

\begin{gathered}
H=\sqrt{a^2+z^2}=119\text{ mm}
\end{gathered}

Šířka diagonály:

\begin{gathered}
b_\text{ef}=0{,}5\cdot H+0{,}65\cdot a=0{,}5H+0{,}65\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}=0{,}09\text{ m}
\end{gathered}

Poznámka:
ve vzorci a je šířka betonové vzpěry na hranici styčníku nikoliv rameno.

Šířka diagonály je 1,0 m (viz zadání). Napětí v betonové diagonále je

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=41\cdot10^{-3}/(1\cdot0{,}09)=0{,}46\text{ MPa}\le0{,}4_{\sigma_\text{Rd,max}}
\end{gathered}

Není nutné ani konstrukční vyztužení na vznik příčných tahů v tlačené diagonále, tahy převezme beton.

4.4.2 Příklad vícenásobné konzoly

Obr. 4.12  Tvar vícenásobné prostorově zatížené konzoly

Obr. 4.13  Výsledky nelineární prostorové analýzy konzoly – trhliny a napětí v betonové části konzoly

Obr. 4.14  Výsledky nelineární prostorové analýzy konzoly – napětí ve výztuži konzoly

Obr. 4.15  Svázaná výztuž jednostranné prostorové konzoly (příliš hustá výztuž pro dobré dobetonování, geometrie prvku by na dané namáhání měla být upravena)

5 OZUBY NOSNÍKŮ A DESEK

S návrhem ozubů u nosníků a desek se velmi často setkáváme u prefabrikovaných konstrukcí. Pomocí ozubů ukládáme prefabrikované nosníky na konzoly s tím, že spodní líce obou prvků jsou obvykle ve stejné úrovni. Obdobné je to i u prefabrikovaných desek, ukládaných na ozuby průběžných konzol. Velmi častým případem je uložení schodišťového ramene pomocí deskového ozubu na deskovou konzolu podesty.

K návrhu ozubů využíváme především modely náhradní příhradoviny. Jsou to rovněž poruchové oblasti (D-oblasti). Ozuby na nosnících jsou principiálně stejné poruchové oblasti jako nepřímo uložené konzoly (viz kap. 4 nebo [29], pokud se na ně podíváme obráceně). Nepřímé uložení ozubem chápeme jako napojení na vlastní plnou část průvlaku, vazníku nebo desky (je to tedy obrácená nepřímo uložená konzola).

5.1 TYPY OZUBŮ A METODY NÁVRHU

Ozuby jsou na nosníkových nebo deskových prvcích. V první části jsou řešeny ozuby na nosnících. Pro jejich výpočet se nejčastěji používají dva modely náhradní příhradoviny – pro snazší orientaci jsou modely v následujícím textu označeny písmeny A a B. Model A má za lícem ozubu koncentrovanou svislou třmínkovou výztuž a při spodním líci ozubu koncentrované vodorovné táhlo (obr. 5.1), zatímco hlavním nosným prvkem modelu B (obr. 5.2) je šikmé táhlo. Nejčastějším návrhovým modelem oblasti ozubu je kombinovaný model A a B. Odborným odhadem rozdělíme namáhání ozubu na část přenášenou příhradovinou modelu A a část přenášenou příhradovinou modelu B. Po navržení konkrétního vyztužení je vhodné původní předpoklad o rozdělení do modelů A a B ověřit, případně zpřesnit.

Obr. 5.1  Ozub nosníku – model A

Obr. 5.2  Ozub nosníku – model B

Modely náhradní příhradoviny nejsou blíže specifikované v základní normě ČSN EN 1992-1-1:2006 [1] (viz obr. 5.3). Jejich podrobný rozbor je dostupný především v zahraniční literatuře (viz např. [7], [10] a [20]). Modely byly ověřeny četnými experimenty i nelineárními výpočty. Konkrétní modely náhradní příhradoviny oblasti ozubu vycházejí především z geometrie prvku a z jeho vyztužení. Proto návrh náhradní příhradoviny obvykle provádíme ve dvou a více krocích. V prvním kroku odhadneme výztuž a dopočteme síly v táhlech a vzpěrách. Ve druhém kroku upřesníme model náhradní příhradoviny podle dimenzování táhel a vzpěr a novým výpočtem upřesníme vnitřní síly.

Obr.  5.3

V normě ČSN EN 1992-1-1:2006 [1] (viz obr. 5.3) není předepsána (jen graficky naznačena) minimální vodorovná reakce, na kterou má být ozub navržen. Přesto se doporučuje při návrhu počítat s minimální vodorovnou silou v hodnotě 20 % svislé reakce, pokud nám z výpočtu objektu nevyjde vodorovná síla větší. Přitom model B nemůže přenášet žádné vodorovné zatížení, a proto veškeré vodorovné zatížení přisuzujeme modelu A.

Poznámka:
někdy se v literatuře uvádí samostatný model C jen pro přenos vodorovných účinků zatížení, obr. 5.4.

Norma [1] rovněž nepředepisuje uvažování běžných výrobních a montážních tolerancí (bližší viz kap. 3). Přesto je zřejmé, že žádné prvky nelze vyrobit a smontovat zcela přesně. Proto je rovněž doporučeno uvažovat se zvětšenou excentricitou reakce v místě uložení prvku.

Další zjednodušení je v definici zatížení. Při řešení poruchové oblasti ozubu uvažujeme reakci v uložení ozubu a v celé oblasti neredukujeme posouvající sílu (uvažujeme, že v oblasti nepůsobí žádné zatížení). Reakce v uložení je tak shodná s posouvající silou na nosníku za poruchovou oblastí kolem ozubu.

Obr. 5.4  Ozub nosníku – model A – vodorovná reakce model náhradní příhradovniny

5.1.1 Model A

Pro model A se obvykle uvažuje model náhradní příhradoviny podle obr. 5.1. Pro představu o chování ozubu vyztuženého především svislými třmínky a vodorovným táhlem, viz obr. 5.5a a obr. 5.5b, kde jsou zobrazeny výsledky nelineárního výpočtu příkladu ozubu. Z obrázků je patrno, že trhliny vznikají především ve směru betonové vzpěry, třmínková výztuž není na vznikající trhliny kolmá, není tedy maximálně účinná. Při větším počtu třmínků za lícem ozubu se zvětšuje rameno reakce A, což vede k velkému množství staticky nutné výztuže. Tlakové vzpěry z nelineárního výpočtu odpovídají modelu náhradní příhradoviny.

Nevýhodou modelu A (obr. 5.1) je tedy velké množství svislé tahové výztuže ve formě třmínků hned za lícem ozubu.

Poznámka:
je nutné překontrolovat dostatečné zakotvení třmínků háky, nepostačuje jen dodržet délku háků podle konstrukčních zásad ČSN EN 1992-1-1:2006 [1].

Svislá výztuž (obvykle ve formě třmínků) není optimálně skloněna ke vznikající poruchové trhlině a je tak méně účinná na její rozvoj. Velké množství výztuže také posouvá styčník 2 dále do vlastního průvlaku a tím prodlužuje rameno vnější síly – reakce v uložení ozubu. Předností modelu A je především možnost přenosu vodorovné síly v uložení (obr. 5.1).

Obr.  5.5a

Obr.  5.5b

Model pro přenos vodorovné síly

Pro přenos vodorovné síly uvažujeme model náhradní příhradoviny podle modelu A. Na rozdíl od modelu A je zde doplněna vzpěra ΔC24 – viz obr. 5.4. V okamžiku vyčerpání únosnosti však uvedenou vzpěrou prochází poruchová trhlina (trhlina kolmá na vzpěru je v rozporu se vzpěrou, proto nelze s ní uvažovat v modelech náhradní příhradoviny). Proto tento model uvažujeme pouze pro přenos vodorovné síly. Pro svislé účinky uvažujeme přenos sil podle modelu A – viz obr. 5.1. Model přenosu vodorovné síly je někdy v literatuře označován jako model C.

 5.1.2 Model B

Model B (obr. 5.2) má optimální umístění šikmé výztuže takřka kolmo na směr rozvoje trhlin u rohu ozubu. Šikmá výztuž je nejúčinnější pro přenos zatížení z průvlaku do ozubu. Pro představu o chování ozubu vyztuženého především šikmým táhlem viz obr. 5.6a a obr. 5.6b, kde jsou zobrazeny výsledky nelineárního výpočtu příkladu ozubu. Z obrázků je patrno, že šikmá výztuž je takřka kolmá (dané geometrií ozubu a sklonu táhla) na vznikající trhliny, je tedy maximálně účinná. Vznikají však i velké vodorovné trhliny pod ozubem, jejich vliv model B nepostihuje. Velkou nevýhodou modelu B však je, že nemůže přenášet případné vodorovné síly působící ozubu průvlaku (kinematický model náhradní příhradoviny). Pokud uvažujeme na konzolách sloupů minimální vodorovnou sílu v hodnotě 0,2F_Ed, stejná síla by se měla uvažovat pro druhou stranu uložení – pro ozuby na průvlacích. Z toho vyplývá, že varianta B nemůže být nikdy použita samostatně, ale pouze v kombinaci s variantou A. Další nevýhodou této varianty B je rovněž malý prostor pro zakotvení šikmé tahové výztuže v horním rohu ozubu. Šikmou výztuž navrhujeme obvykle pomocí smyček, nebo jednotlivých prutů zakotvených pomocí přivařených desek.

Poznámka:
svařování pouze v souladu s ČSN EN ISO 17660-1:2007.

Pokud navrhneme zakončení šikmé tahové výztuže ve tvaru smyček a je nutné navrhnout smyčky ve více vrstvách, bude kotevní oblast větší, což může vést ke změně modelu příhradové analogie. Vznikne totiž další vložený styčník CTT, který bude vyžadovat další vodorovnou a svislou výztuž (viz obr. 5.7).

Obr. 5.6a

Obr. 5.6b

Obr. 5.7  Ozub nosníku – model B* – upravený model příhradoviny

5.1.3 Kombinovaný model A+B

Při návrhu ozubu průvlaku je optimální vytvořit model kombinací obou uvedených modelů A a B (viz obr. 5.8). Rozdělení zatížení ozubu do dvou soustav náhradní příhradoviny lze provést přesně na základě poměru jejich tuhostí. V době zpracování návrhu výztuže ozubu však neznáme staticky nutné vyztužení ozubu a nejsme schopni tak stanovit tuhosti jednotlivých modelů. Pro nalezení optimálního řešení by bylo nutné provádět poměrně komplikovaný iterační postup. V současné době je optimálním a doporučeným postupem každý model navrhnout na 55 % celkového zatížení s tím, že vodorovné zatížení se celé přisoudí modelu A (viz [10]). Tím, že navrhujeme výztuž na 110 % celkového svislého zatížení, vzniká rezerva 10 %, která se využije na pokrytí rozdílných tuhostí obou modelů, protože tužší model z obou bude přenášet větší část zatížení než poddajnější model. Znovu je třeba připomenout, že model B nelze nikdy použít samostatně. Model A lze použít samostatně, a pokud bychom jej navrhli jako samostatný, doporučuje se vkládat konstrukční šikmou výztuž pro redukci rozvoje poruchové trhliny.

Obr. 5.8  Ozub nosníku – kombinovaný model A+B

Ozub průvlaku je nutné navrhovat současně s konzolou, na kterou se nosník s ozubem uloží. Geometrie ozubu a konzoly si musí odpovídat, obě oblasti musí být také spolehlivě vyztuženy. Při návrhu je nutné dořešit i velikost spár mezi jednotlivými prefabrikáty, které vycházejí z reálných výrobních a montážních tolerancí. Velikost spár je rovněž závislá na použitém ložisku. Malé spáry mohou vést k porušení hran prefabrikátů, velké spáry zbytečně zvětšují namáhání ozubů. Postup stanovení tolerancí, umístění a velikosti ložisek a další byly uvedeny v kap. 3. Dále je vhodné umístit svislé zatížení – reakci s excentricitou e (viz kap. 3), bližší – viz [28]. V tomto bodě se liší umístění reakce na konzole a na ozubu, tolerance se u obou oblastí uvažují v jiném směru (viz obr. 3.17).

Na začátku návrhu ozubu (kombinovaný model viz obr. 5.8) přiřadíme každému modelu 55 % zatížení – reakce (A* = 0,55A). V rámci optimalizace výztuže je vhodné po dopočtení tuhostí rozdělení upravit s tím, že část přenášená modelem B nesmí nikdy být větší než 70 % celkového zatížení.

Poznámka:
pokud jsou v modelech náhradní příhradoviny uvažovány současně silové účinky od obou modelů, pak jsou rozlišeny horním indexem (1) pro síly prvního modelu A a indexem (2) pro síly druhého modelu B.

Nejprve navrhneme ložisko a překontrolujeme napětí v betonu pod styčnou deskou. Návrhová mez únosnosti betonu v tlaku odpovídá styčníku CTC.

Poznámka:
návrh ložiska není součástí této publikace – podrobněji viz ČSN EN 1337-1.

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{F_\text{Ed}}{A_\text{desky}};\space\Tau=\frac{H_\text{Ed}}{A_\text{desky}}
\end{gathered}

(5.1)

Parametry pro omezení napětí pod ložiskem – styčnou deskou a umístění ložiska u okraje prvku byly uvedeny v kap. 3.

5.2 NÁVRHOVÝ MODEL A

Model náhradní příhradoviny modelu A je uveden na obr. 5.1 a 5.9. Jednotlivé styčníky jsou detailně zobrazeny na obr. 5.10 (geometrie styčníku 1 (CTC) a 2 (CTT)) a obr. 5.11 (geometrie styčníku 3 (CTT), 4 (CTT) a 5 (CTT)). Model A je obdobný jako nepřímo uložená konzola (obrácená – viz obr. 4.8). Proto můžeme použít všechny vztahy pro návrh výztuže odvozené u konzol. Přenos vodorovné síly uvažujeme podle modelu na obr. 5.4, tedy jako pro změnu průřezu (kap. 2, obr. 2.15) a účinky vodorovného zatížení zahrnujeme do modelu A. Pro zjednodušení uvažujeme sklon vzpěry ΔC₃₄ hodnotou θ = 45°. Ve svislém táhle vznikne síla.

Poznámka:
označujeme jako přírůstek síly, konečná hodnota tahové síly bude součtem tahové síly od vertikálního zatížení – reakce A a vodorovného zatížení – reakce H.

\begin{gathered}
\Delta T_{23}=H_\text{Ed}\cdot\frac{z_\text{k}}{z}
\end{gathered}

kde proměnné – viz obr. 5.4 a obr. 2.15, (odvození vztahu viz kap. 2).

U modelu A podle obr. 5.1 lze jednoduše stanovit síly v táhlech a vzpěrách z podmínek rovnováhy ve styčnících obdobně jako u konzol (viz kap. 3 a kap. 4).

Obr. 5.9  Ozub nosníku – model A – svislá reakce – model náhradní příhradoviny

Obr. 5.10  Ozub nosníku – model A – řešení styčníků 1 a 2

Obr. 5.11  Ozub nosníku – model A – řešení styčníků 3 a 4

Výpočetní postup

• Stanovíme množství svislé tahové výztuže u líce ozubu (viz obr. 5.10). Za předpokladu, že T₂₃ = A + ΔT₂₃ obdržíme staticky nutnou plochu výztuže táhla:

\begin{gathered}
A_\text{s}=T_{23}/f_\text{yd}
\end{gathered}

(5.2)

a navrhneme vyztužení třmínky (šířka táhla je označena x₂). V těžišti třmínků bude styčník 2 vzdálený Δa od líce betonu (prvku) – viz obr. 5.10. Obdobně jako u nepřímo uložených konzol předpokládáme styčník 2 v oblasti uzavřené svislými třmeny (viz kap. 4). Svislé třmínky se obvykle navrhují z průřezů max.12 (lze připustit i profil 14 mm) v osových vzdálenostech cca 50 mm. Pro zvýšení jejich účinnosti lze třmínky mírně sklonit směrem k ozubu [10]. Toto však pak pochopitelně ovlivní i geometrii modelu (a komplikuje výrobu výztuže). Počet profilů táhla by neměl být velký, raději volíme větší střižnost třmínků; větší profily (f_sw ≥ 16 mm) nejsou vhodné. Pozor také na dostatečné zakotvení třmínků – nutno zakotvit za styčníkem na rozdíl od běžných třmínků, což obvykle představuje delší háky). Šířku styčníku označíme x₂. Svislá poloha styčníku 2 (obr. 5.10) je jako u nepřímo uložených konzol uvažována uvnitř třmínků táhla T₂₃, ve vzdálenosti od líce a_d = c + f_sw + 0,5 ∙ y₂. Hodnotu c + f_sw označíme Δy.

• Výztuž táhla T₁₄ při dolním líci ozubu uvažujeme nejprve ve dvou vrstvách jako u konzol:

\begin{gathered}
d_\text{k}'=c+\phi_\text{sw}+(1+0{,}6)\cdot\phi
\end{gathered}

Poznámka:
více vrstev výrazně snižuje rameno vnitřních sil. Mezi jednotlivými vrstvami je nutné dodržet vzdálenosti stanovené při určování vnitřního zakřivení smyček, minimální vzdálenost jednotlivých vrstev bývá cca 50 mm.

Účinná výška ozubu:

\begin{gathered}
d_\text{k}'=h_\text{k}-d_\text{k}'=h_\text{k}-(c_\text{nom}+\phi_\text{sw}+0{,}5\cdot\phi+0{,}05/2)
\end{gathered}

(Osová vzdálenost vrstev tahové výztuže je uvažována 50 mm).

• Rameno vnitřních sil je:

\begin{gathered}
z_\text{k}=d_\text{k}-\Delta y-0{,}5\cdot y_2=d_\text{k}-a_\text{d}
\end{gathered}

• Rameno vnějších sil – reakce A:

\begin{gathered}
a_\text{c}+c_\text{nom}+0{,}5\cdot x_2+H_\text{Ed}/F_\text{Ed}(d_\text{k}'+\Delta h)
\end{gathered}

• Stanovíme rameno a reakce A:

\begin{gathered}
a=ac+\Delta a+a_\text{H}
\end{gathered}

(5.3)

kde je

Δa … vodorovná vzdálenost těžiště navržených třmínků (táhla T₂₃) od bočního líce prvku: Δa = c_nom + 0,5 ∙ x₂. Do hodnoty a_c doporučeno započítat vliv ∆ ≈ 15…25 mm (podle kap. 3) nepřesnosti výroby a montáže prvku podle ČSN EN 13760:2004;

a_H … zohledňuje působení vodorovné síly:

\begin{gathered}
a_\text{H}=\frac{H_\text{Ed}}{A}(d_\text{k}'+\Delta h)
\end{gathered}

(5.4)

• Odhadneme rameno vnitřních sil ozubu 

\begin{gathered}
z_\text{k}=h_\text{k}-d_\text{k}'-a_\text{d}
\end{gathered}

(5.5)

Hodnota d_k představuje vzdálenost mezi dolním lícem ozubu a těžištěm tahové výztuže T₁₄. Na začátku výpočtu musíme odhadnout průměr výztuže, tloušťku betonové krycí vrstvy výztuže, počet vrstev výztuže a výšku tlačené oblasti ad. Po stanovení síly v táhle je nutné tyto předpoklady překontrolovat a případně upravit.

• Stanovíme sklon první vzpěry:

\begin{gathered}
\theta_1=\text{arctan}(z_\text{k}/a)
\end{gathered}

(5.6)

• Stanovíme sílu v první vzpěře:

\begin{gathered}
C_{12}=A/\sin\cdot\theta_1
\end{gathered}

(5.7)

• Tlaková síla při horním líci ozubu:

\begin{gathered}
C_{26}=C_{12}\cdot\cos\theta_1
\end{gathered}

(5.8)

• Výška tlačeného pásu při horním líci (ve styčníku 2 – viz obr. 5.10) se stanoví z momentové rovnováhy ke styčníku 2, kterou lze vyjádřit:

\begin{gathered}
F_{14}\cdot z_\text{k}-H_\text{Ed}\cdot(z_\text{k}+d_\text{k}'+\Delta h)-F_\text{Ed}\cdot a=0
\end{gathered}

• Rovnici upravíme na tvar:

\begin{gathered}
F_{14}\cdot z_\text{k}/F_\text{Ed}-H_\text{Ed}\cdot(z_\text{k}+d_\text{k}'+\Delta h)/F_\text{Ed}-a=0
\end{gathered}

Předpokládá se napětí ve styčníku σ_Rd,max (pozor, styčník CTC)

Z rovnováhy ve vodorovném směru určíme sílu F₁₄ (b je šířka ozubu):

\begin{gathered}
F_{14}-H_\text{Ed}=y_2\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

a šířka x₂ je na rozdíl od konzoly dána šířkou táhla T_23.

Po úpravě dostaneme rovnici:

\begin{gathered}
z_\text{k}/F_\text{Ed}\cdot(F_{14}-H_\text{Ed})+H_\text{Ed}\cdot(d_\text{k}{'}+\Delta h)/F_\text{Ed}-a=0\\\\
z_\text{k}/F_\text{Ed}\cdot(y_2\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max})+H_\text{Ed}\cdot(d_\text{k}{'}+\Delta h)/F_\text{Ed}-a=0
\end{gathered}

Za rameno vnitřních sil dosadíme

\begin{gathered}
z_\text{k}=d_\text{k}-\Delta y-0{,}5\cdot y_2\\\\
(d_\text{k}-\Delta y-0{,}5\cdot y_2)\cdot(y_2\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max})+H_\text{Ed}\cdot(d_\text{k}'+\Delta h)-a\cdot F_\text{Ed}=0\\\\
-y_2^2\cdot(y_2\cdot b\cdot\sigma_\text{Rd,max})+y_2\cdot(d_\text{k}-\Delta y)\cdot(b\cdot\sigma_\text{Rd,max})+H_\text{Ed}\cdot(d_\text{k}'+\Delta h)-a\cdot F_\text{Ed}=0\\\\
0{,}5y_2^2-y_2\cdot(d_\text{k}-\Delta y)+F_\text{Ed}\cdot(-H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d_\text{k}'+\Delta y)+a)/(b\cdot\sigma_\text{Rd,max})=0
\end{gathered}

Označíme jako pomocnou proměnnou X výraz:

\begin{gathered}
X=(a-H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d_\text{k}'+\Delta h))\cdot F_\text{Ed}/(b\cdot\sigma_\text{Rd,max})\\\\
0{,}5y_2^2-y_2\cdot(d_\text{k}+\Delta y)+X=0
\end{gathered}

Řešením kvadratické rovnice je vztah pro výšku styčníku 2:

\begin{gathered}
y_2=(d_\text{k}-\Delta y)-\sqrt{(d_\text{k}-\Delta y)^2-4\cdot0{,}5\cdot X}
\end{gathered}

(5.9)

• Upřesníme těžiště horního tlačeného pásu:

\begin{gathered}
a_\text{d}=c_\text{nom}+\phi_\text{st}+0{,}5\cdot y_2
\end{gathered}

(5.10)

kde ϕ_st je průměr svislých třmínků u ozubu a c_nom je tloušťka betonové krycí vrstvy třmínků.

• Tím je daná geometrie modelu A, překontrolujeme rameno vnitřních sil a sílu v první vzpěře podle vztahů (5.6) až (5.7).
• Stanovíme sílu v táhle T₁₄:

\begin{gathered}
T_{14}=\frac{A\cdot a+H_\text{Ed}(z_\text{k}+d_\text{k}'+\Delta h)}{z_\text{k}}
\end{gathered}

(5.11)

Hlavní tahová výztuž se stanoví (výztuž táhla)

\begin{gathered}
A_\text{s14}=T_{14}/f_\text{yd}
\end{gathered}

Táhlo T₁₄ provádíme obvykle ve tvaru vložených smyček ve dvou až maximálně třech vrstvách. Počet vrstev tahové výztuže opět významně ovlivňuje geometrii modelu – zmenšuje rameno vnitřních sil z_k (obr. 5.10). Pokud jsme při prvním návrhu neodhadli počet vrstev tahové výztuže, je nutné opět přepočítat předchozí vztahy (5.4) až (5.11).

Poznámka:
vzdálenosti jednotlivých vrstev ovlivňují minimální průměr vnitřního zakřivení smyček, proto je nutné polohu jednotlivých vrstev upřesnit spolu s definováním minimálního poloměru vnitřního zakřivení.

Minimální průměr vnitřního zakřivení smyčky táhla se stanoví podle vztahu:

\begin{gathered}
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)
\end{gathered}

(5.12)

kde je

F_bt … síla v jedné větvi smyčky, která je třeba zakotvit;

a_b … poloviční osová vzdálenost mezi jednotlivými vrstvami výztuže nebo vzdálenost osy prutu smyčky od líce prvku;

ø … průměr prutu smyčky.

Obr. 5.12  Rozšíření styčníkové oblasti 3

Obr. 5.13  Ozub nosníku

• Překontrolujeme zakotvení výztuže táhla T₁₄ ve formě smyček ve styčníku 1. Obdobně jako u konzoly je nutné překontrolovat vnitřní poloměr zakřivení smyček podle vztahu 8.1, uvedeného v ČSN EN 1992-1-1:2006 [1], aby nemohlo dojít k drcení betonu uvnitř smyček.

Poznámka:
je nutné překontrolovat nejen krajní smyčku u líce, ale i další vnitřní smyčky.

Dále překontrolujeme zakotvení táhla za styčníkem 4 (obr. 5.11 a obr. 5.12) – rovných prutů obvykle ve špatných podmínkách soudržnosti [1]. Polohu styčníku 4 stanovíme z geometrie modelu podle obr. 5.1, obr. 5.11 a obr. 5.12 a obr. 5.13.

• Překontrolujeme zakotvení táhla T₂₃. Třmínky musí být v tlačené části nosníku (ve styčníku 2 podle obr. 5.10) zakotveny v souladu s ČSN EN 1992-1-1:2006 [1].

Poznámka:
obvykle jsou zakotveny přesahem větví třmínku, zakotvení háky podle běžných konstrukčních zásad není dostatečné.

• Překontrolujeme zakotvení hlavní tahové výztuže nosníku ve styčníku 3 [1] – viz obr. 5.11. Pokud by nebyla dostatečná kotevní délka l₃ daná geometrií styčníku 3:

\begin{gathered}
T_{23}'=\frac{l_3}{l_\text{bd}}T_{23}\space\space\text{a}\space\space T_{35}'=\frac{l_3}{l_\text{bd}}T_{35}
\end{gathered}

doplníme v obou směrech výztuž na síly viz obr. 5.12.

kde je

l₃ … šířku táhla T₂₃ ve styčníku 3. Stanovení šířky táhla bylo vysvětleno v kap. 2;

l_bd … návrhová kotevní délka hlavní tahové výztuže ve styčníku 3.

• Stanovíme výztuž v táhle T₄₅ a T₆₇

\begin{gathered}
T_{45}=T_{23}=T_{67}
\end{gathered}

(5.13)

Z modelu náhradní příhradoviny na obr. 5.1 je patrno, že síly v uvedených táhlech jsou stejné (zanedbáváme tak průběh vnějšího zatížení, což je ve prospěch bezpečnosti). Šířku táhla T₄₅ stanovíme jako součet polovičních vodorovných vzdáleností styčníků 3 a 5 a styčníků 5 a 7.

• Sklon tlačené diagonály θ … cot θ₁= a/z_k 

Poznámka:
sklon tlačené diagonály je nejoptimálnější kolem 45°. Sklon je však definován geometrií oblasti a jejím vyztužení.

• Síla v betonové diagonální vzpěře

\begin{gathered}
F_{14}=F_\text{Ed}/\sin\theta
\end{gathered}

Délka betonové vzpěry H je H=\sqrt{a^2+z_\text{k}^2} (označení podle kap. 1 a [1]).

Únosnost betonové vzpěry se uvažuje podle vztahu

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6\cdot v'f_\text{cd}
\end{gathered}

Obr. 5.14  Příčné tahy v tlačené diagonále

• V betonové vzpěře C12 (obr. 5.13 a obr. 5.14) vznikají příčné tahy, na které je nutné navrhnout konstrukční výztuž svislou a vodorovnou.

Uvažujeme buď zjednodušení příčných tahů T = 0,22F₁₂, nebo přesněji skutečné

příčné tahy podle vzorce:

\begin{gathered}
T=\frac{1}{4}\bigg(1-0{,}7\frac{a}{h}\bigg)F_{12}
\end{gathered}

(pozor – zde a je šířka tlačené diagonály u styčníku 1 nebo 2. a h = H/2 je poloviční délka tlačené diagonály, označení je podle ČSN EN 1992-1-1:2006 [1])

Jako šířku tlačené diagonály u styčníku 1 uvažujeme

\begin{gathered}
a=\sqrt{(x_1^2+y_1^2)}
\end{gathered}

obdobně u styčníku 2 se uvažuje a = l_a ∙ sin θ₁. (l_a je délka ložiska – styčné desky).

• Vodorovný příčný tah v betonové vzpěře (viz obr. 5.13 a obr. 5.14):

\begin{gathered}
T_\text{wh}=2T\cdot\sin\theta_1=0{,}44F_{12}\sin\theta_1=0{,}44F_\text{Ed}
\end{gathered}

Přitom je nutné dodržet u krátkých konzol ve smyslu ČSN EN 1992-1-1:2006 minimální plochu vodorovné konstrukční výztuže 0,25A_main. To doplníme do předchozího vztahu

\begin{gathered}
T_\text{wh}=0{,}44F_\text{Ed}\ge0{,}25\cdot F_{14}\space\space\text{pokud}\space\space a\le0{,}5z_\text{k}
\end{gathered}

• Svislý příčný tah v betonové vzpěře (viz obr. 5.13 a obr. 5.14):

\begin{gathered}
T_\text{wv}=2T\cdot\cos\theta_1=0{,}44F_\text{c}\cos\theta_1=0{,}44F_\text{Ed}\cdot\cos\theta_1
\end{gathered}

Přitom je nutné dodržet u dlouhých konzol ve smyslu ČSN EN 1992-1-1:2006 minimální plochu svislé konstrukční výztuže A_swv ≥ 0,5 ∙ F_Ed/f_ywd. To doplníme do předchozího vztahu:

\begin{gathered}
T_\text{wv}=2T\cdot\cos\theta_1=0{,}44F_c\cos\theta_1=0{,}44F_\text{Ed}\cdot\cot\theta_1\ge0{,}5F_\text{Ed},\space\space\text{pokud}\space\space a\ge0{,}5z_\text{k}
\end{gathered}

• Přesnějším výpočtem příčných tahů dostaneme (viz obr. 5.13 a obr. 5.14) příznivější hodnoty z hlediska vyztužení:

Vyjdeme ze vzorce T=\frac{1}{4}\bigg(1-0{,}7\frac{a}{h}\bigg)F_{12} (pozor – zde a je šířka tlačené diagonály u styčníku 1 nebo 2, a h je poloviční délka tlačené diagonály, označení je podle ČSN EN 1992-1-1:2006). Jako šířku tlačené diagonály u styčníku 1 uvažujeme a=\sqrt{(x_1^2+y_1^2)} obdobně u styčníku 2 se uvažuje a = l_a ∙ sin θ. (l_a je délka ložiska – styčné desky). Délka diagonály je h=\sqrt{(a^2+z^2)} (a je rameno vnějších sil a z je rameno vnitřních sil). Dosazením dostaneme skutečné příčné tahy v betonové vzpěře. Rozložení příčných tahů do vodorovného a svislého směru provedeme obdobně jako u zjednodušeného výpočtu.

• Ke stanovení konstrukčního vyztužení ozubu platí stejné konstrukční zásady vyztužení jako pro konzoly, viz kap. 3 a kap. 4. Konstrukční vyztužení ozubu – viz také obr. 5.12.

Poznámky k vyztužení:
Z modelu náhradní příhradoviny (obr. 5.1) vyplývá, že táhla T₂₃, T₄₅ a T₆₇ jsou stejně namáhána, rovněž stejná je staticky nutná plocha výztuže třmínků. Táhla se liší svojí šířkou (obr. 5.1). Vodorovné táhlo T₁₄ se musí dostatečně zakotvit ve styčníku 1 (smyčkami) a za styčníkem 4 (obvykle špatné podmínky soudržnosti). Hlavní tahová výztuž nosníku se musí zakotvit ve styčníku 3, pro zakotvení lze použít dodatečnou smyčkou výztuž ve druhé (a popřípadě další) vrstvě (viz obr. 5.11 a obr. 5.12). Stejná tlaková síla jako v C₁₂ je i ve vzpěře C₃₄. Všechny tlačené vzpěry nutno vyztužit na vznikající příčné tahy, minimálně však podle konstrukčních zásad – viz obr. 5.14.

5.3 NÁVRHOVÝ MODEL B

Model náhradní příhradoviny modelu B je na obr. 5.2 a obr. 5.15.

• Stanovíme sklon šikmé výztuže θ₂. Optimální sklon je kolmý na poruchovou trhlinu, sklon je dán geometrií navržené výztuže a vlastní poruchové oblasti. Na začátku můžeme vycházet ze sklonu 45°, po navržení výztuže sklon upřesníme a posouzení opakujeme se skutečným sklonem táhla T₂₃ (obr. 5.2 a obr. 5.15). Síla v táhle T₂₃:

\begin{gathered}
T_{23}=A/\sin\theta_2
\end{gathered}

(5.14)

• Překontrolujeme zakotvení táhla ve styčníku 2 (obr. 5.2). Šikmou výztuž navrhujeme obvykle ve tvaru smyček, nebo šikmého prutu, kotveného nahoře pomocí kotevní desky. Táhlo zakotvíme na druhé straně přesahem s hlavní tahovou výztuží nosníku. U zakotvení ve styčníku 2 je nutné překontrolovat velikost minimálního průměru zakřivení výztužné vložky podle vztahu (5.12) a vzdálenosti prutů (smyček), pokud je výztuž šikmého táhla ve více vrstvách. Vzdálenost prutů musí splňovat konstrukční zásady podle [1] a vztah (5.12).
• Ověříme únosnost betonových vzpěr C₁₂ a C₂₄ při uvažování styčníku CTC:

\begin{gathered}
C_{12}=A\space\space\text{a}\space\space C_{24}=C_{12}\cdot\cot\theta_2
\end{gathered}

(5.15)

Velmi častým problémem u modelu B je zakotvení šikmé výztuže (táhlo T₂₃) v horním rohu ozubu (viz obr. 5.2). Pokud je kotevní délka prutu (obvykle ve formě smyčky) nedostatečná, můžeme využít následující řešení:

• Zakotvit šikmé pruty kotevními spojkami nebo přivařenými kotevními destičkami.
• Zvětšit plochu výztuže tažených šikmých prutů. Tím se sníží využití výztuže a zkrátí se potřebná kotevní délka.
• Zvýšit třídu betonu, tím se výrazně zkrátí potřebná kotevní délka.
• Změnit návrhový model, např. podle obr. 5.7.
• Vytvořením kombinovaného modelu A a B (viz následující kapitola).

Všechny tlačené vzpěry nutno vyztužit na vznikající příčné tahy, minimálně však podle konstrukčních zásad – viz obr. 5.14 a obr. 5.16. Postup stanovení příčných tahů je stejný jako u modelu A – viz předchozí kapitola. Konstrukční zásady vyztužení jsou opět obdobné jako u modelu A – bližší viz obr. 5.17.

Obr. 5.15 Ozub nosníku – model B – model náhradní příhradoviny

Obr. 5.16 Ozub nosníku – model B – příčné tahy ve vzpěrách

Obr. 5.17 Principy vyztužení ozubů

5.4 KOMBINOVANÝ MODEL A + B

Vzhledem k tomu, že nelze použít model B samostatně, je nutné jej kombinovat s modelem A – viz obr. 5.8. Obvykle se rozdělí svislá zatížení do dvou částí cca 55 % a na každou část se navrhne výztuž oblasti. Při kombinovaném modelu je nutné v některých styčnících uvažovat současně namáhání od obou modelů. Přiřazení 55 % zatížení každému modelu neznamená předimenzování konstrukce. Totiž celkové zatížení se rozdělí do obou modelů podle poměru jejich tuhostí. Tuhosti jsou obtížně definovatelné zvláště na začátku výpočtu. Po dokončení výpočtu lze vyjádřením poměru tuhostí jednotlivých dílčích modelů optimalizovat rozdělení zatížení a tím optimalizovat vyztužení oblasti. Vodorovné zatížení se přiřadí pouze k modelu A. V návrhových postupech označíme reakci A jako reakci A*. Ve styčnících, kde se setkávají vzpěry obou modelů, je nutné současně uvažovat síly z obou modelů. V následujícím návrhovém postupu jsou označeny síly z modelu A horním indexem (1) a síly z modelu B horním indexem (2).

Návrhový postup kombinovaného modelu A + B

• Tlaková síla při horním líci ozubu pro stanovení výšky styčníku 2⁽¹⁾, viz obr. 5.8

\begin{gathered}
C^{(1)+(2)}=C_{12}^{(1)}\cdot\cos\theta_1+C_{24}^{(2)}
\end{gathered}

(5.16)

je součtem tlakových sil v betonových vzpěrách obou modelů A a B.

• Výška tlačeného pásu při horním líci (ve styčníku 2⁽¹⁾) 

\begin{gathered}
y_2=C^{(1)+(2)}/(\sigma_\text{Rd,max}\cdot b)
\end{gathered}

(5.17)

kde je

σ_Rd,max … návrhová únosnost betonu v tlaku ve styčníku CTC (viz kap. 1);

b … šířka ozubu.

V ostatních krocích je postup stejný s postupem pro jednotlivé modely A a B. Konstrukční výztuž na zachycení příčných tahů vznikajících v betonových diagonálách je doporučeno řešit společně pro oba modely – viz obr. 5.17.

Poznámka k návrhu ozubů:
při návrhu ozubů na prefabrikovaných prvcích je nutné uvažovat s montážním otvorem pro fixování průvlaku po montáži. Obvykle se po montáži do otvoru osadí tyč kotvená do konzoly. Tyč se zalívá zálivkovým betonem, ale plnou soudržnost mezi prefabrikátem a zálivkou nelze zaručit; proto je vhodné plochu montážního otvoru neuvažovat při návrhu výztuže ozubu (šířku ozubu tedy redukovat o velikost montážního otvoru) – viz obr. 5.18.

Obr. 5.18 Ozuby nosníků s montážními prostupy

5.5 PRINCIPY VYZTUŽENÍ OZUBŮ NOSNÍKŮ

Ozuby průvlaků a desek obdobně jako konzoly představují z hlediska bezpečnosti a spolehlivosti konstrukce velmi významný prvek. Proto je nutné jejich návrhu věnovat maximální pozornost. Na dokumentaci pro ozuby je nutné uvádět všechny závazné parametry a předpoklady, které jsou při návrhu použity. Velmi vhodné je například uvádět nejen tloušťku betonové krycí vrstvy výztuže, ale i maximální toleranci v uložení rozhodující výztuže – maximální tloušťky betonové krycí vrstvy. Pro správný návrh je dobré znát i výrobní postup realizace prefabrikátu s ozubem.

Při návrhu ozubu je nutné po dokončení výpočtu a nakreslení výztuže ověřit předpokládanou geometrii modelu náhradní příhradoviny. Vzhledem k tomu, že se při prvním návrhu dá velmi špatně dostatečně přesně odhadnout všechny veličiny, které ovlivňují geometrii modelu, je obvykle nutné provést nové posouzení s upřesněnou geometrií modelu. Pro návrh ozubů by měla být vždy používána výztuž s vysokou duktilitou – třídy B nebo C.

Po návrhu výztuže táhel je nutné překontrolovat vznikají příčné tahy v betonových vzpěrách. Na příčné tahy je nutné navrhnou příslušnou ortogonální výztuž. Příčné tahy se musí překontrolovat u všech betonových vzpěr – viz obr. 5.13, obr. 5.16 a obr. 5.8.

Pro ozuby platí stejné konstrukční zásady jako pro nepřímo uložené konzoly – viz kap. 4. Principy vyztužení ozubů jsou na obr. 5.17.

Příklady výztuže ozubu při kombinovaném modelu návrhu viz obr. 5.19, obr. 5.20 a obr. 5.21.

Obr. 5.19

Obr. 5.20

Obr. 5.21

5.6 OZUBY NA NOSNÍCÍCH S NÁBĚHY

Pokud je například nutné vést instalace v blízkosti sloupů nad spodním lícem vazníků, lze navrhnout ozub vazníku s náběhem. Model náhradní příhradoviny je na obr. 5.22 V první části na obr. 5.22a je uveden model pro vynášení svislé síly a na obr. 5.22b je model pro přenos vodorovné síly. Největším problémem je dostatečné zakotvení šikmého táhla T₂₃ ve styčníku 2 a vodorovného táhla ve styčníku 1. Vzhledem ke geometrii ozubu je dostatečné zakotvení řešitelné například pomocí přivařených kotevní destiček (pro svařování betonářské výztuže platí ČSN EN ISO 17660-1:2007). Uvedené řešení je velmi citlivé na realizaci a návrh těchto prvků vyžaduje značné zkušenosti v oblasti prefabrikovaných konstrukcí.

Obr. 5.22  Ozuby nosníků s náběhy – modely náhradní příhradoviny

5.7 OZUBY DESEK A SMYKOVĚ NEVYZTUŽENÉ OZUBY

Prefabrikovaná schodišťová ramena se nejčastěji ukládají svými ozuby na průběžné konzoly podest. Obdobně lze ukládat i výměny mezi prefabrikovanými stropními deskami. Ozuby desek (obr. 5.23 a obr. 5.24) odpovídají průběžným nepřímo uloženým konzolám, které byly analyzovány v kap. 4.

Obr. 5.23  Průběžný ozub deskové konstrukce – model náhradní příhradoviny

Obr. 5.24  Návrh řešení průběžného deskového ozubu

Ozuby desek obvykle nemívají smykovou výztuž. To je možné jen tehdy, pokud veškeré zatížení vyvozené smykem přebírá tlakové a tahové napětí v betonu. Vzhledem k velikosti ozubu nelze umístit ložisko dostatečně daleko od kraje prvku [27]. Při napětí pod styčnou deskou do hodnoty σ ≤ 0,08 f_ck může být styčná deska – ložisko posunuto blíže k okraji než u klasického ozubu (obr. 5.24). Její umístění je omezeno minimální vzdáleností jejího okraje od hrany konzoly a minimální vzdáleností působiště zatížení od vnitřního poloměru ohybu svislého třmínku. Pokud uvažujeme roznášení v betonové krycí vrstvě pod 45°, tlačená betonová diagonála zasahuje až k líci ozubu a nemusí být plně ovinuta výztuží jako u ozubů na nosnících. Předpokládá se tedy, že příčná tahová napětí v betonu nepřekročí pevnost betonu v tahu. Z tohoto důvodu také není nutné navrhovat přídavnou svislou a vodorovnou třmínkovou výztuž do průběžného ozubu.

Při návrhu průběžného ozubu je nutné navrhnout taženou výztuž při dolním líci a překontrolovat únosnost tlačené betonové diagonály s tím, že vznikající příčné tahy musí spolehlivě přenést beton v tahu. Styčník 2 (obr. 5.24), vzhledem k malému namáhání, lze uvažovat již od líce prvku s tím, že táhlo ve formě třmínku musí být ve styčníku dostatečně zakotveno. Z polohy styčníku 2 vyplývá geometrie modelu a sklon první tlačené betonové diagonály θ. Pro smykově nevyztužené části lze uvažovat sklon druhé tlačené diagonály θ = 45° a dalších betonových diagonál θ = 30° (oblast B). Při vyztužení oblasti je třeba pamatovat na to, že tato výztuž ovlivňuje sklon tlačené betonové diagonály. Návrh odpovídá průběžné, nepřímo uložené konzole, viz kap. 4.

5.7.1 Návrh podle ČSN EN 1992-1-1:2006 [1]

Podle článku 10.9.4.6. normy ČSN EN 1992-1-1:2006 [1] lze navrhovat ozuby nosníků pomocí modelů náhradní příhradoviny. Norma definuje dva alternativní modely a jejich vyztužení. Norma připouští kombinaci modelů, nic bližšího dále není uvedeno. Modely jsou na obr. 5.3.

V levé části obr. 5.3 model náhradní příhradoviny odpovídá modelu A podle obr. 5.1. Druhý model odpovídá modelu B podle obr. 5.9. U modelu A nutno pamatovat na přenos vodorovných sil.

5.8 SPECIÁLNÍ VÝZTUŽ OZUBŮ

Výztuž ozubů prefabrikovaných prvků je poměrně složitá a vyžaduje velmi pečlivé provedení. Pro zjednodušení někdy komplikovaného vyztužení je možné použít speciální ozuby od firmy PEIKKO nebo PFEIFER. Jedná se principiálně o dva typy ozubů. První typ (PEIKKO) řeší namáhání ozubu ocelovým svařencem, který se zabuduje do prvku s příslušnou staticky nutnou a konstrukční výztuží.

Druhým typem je ocelový ozub PFEIFER, který řeší únosnost vlastního ozubu ocelovým HEA nosníkem (obr. 5.25 a obr. 5.26 a obr. 5.27). Svislou tahovou výztuž nahrazuje přivařeným výztužným prutem většího průměru, který je při spodním líci opatřen přivařenou kotevní deskou. To výrazně zjednodušuje vyztužení kraje prefabrikovaného prvku u ozubu.

Obr. 5.25  Speciální zabudované prvky pro řešení ozubů nosníků

Obr. 5.26

Obr. 5.27

5.9 PŘÍKLADY NÁVRHU A VYZTUŽENÍ OZUBŮ

5.9.1 Ozub průvlaku 1

Navrhněte výztuž ozubu průvlaku (podle obr. 5.28) z betonu C50/60 s betonářskou výztuží B500B, betonová krycí vrstva třmínků 25 mm. Průřez průvlaku v poli je 1000 x 400 mm, ozub má rozměry 400 x 350 x 500 mm, průvlak má rozpětí 6,4 m, modulová síť je 7,20 m. Průvlak je zatížen rovnoměrným zatížením 160 kN/m. Reakce průvlaku je 576 kN, průvlak je při dolním líci vyztužen 6 x ø25 a při horním líci 2x ø14, těžiště horní výztuže je 50 mm od horního líce průvlaku. Horizontální síla není zadána, předpokládáme H_Ed = 0,2A =116 kN. Roznášecí deska 300 x 250 mm. Vzhledem k nepřesnostem výroby a montáže je uvažována tolerance 20 mm.

Předpokládáme rozdělení namáhání do dvou modelů náhradní příhradoviny v poměru 55 % pro model A (317 kN) a 55 % pro model B (317 kN). Zvýšené zatížení vyrovnává rozdílné tuhosti jednotlivých modelů.

Obr. 5.28 Příklad ozubu nosníku

Materiály

Beton C50/60:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=33{,}3\text{ MPa};\space\alpha_\text{cc}=1{,}0;\space\varepsilon_\text{cu3}=3{,}5\space‰;\space\eta=1{,}0;\space\lambda=0{,}8;\space v'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}8
\end{gathered}

Styčník s táhlem CTC:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85\cdot v'f_\text{cd}=22{,}7\text{ MPa}
\end{gathered}

Styčník s více táhly CTT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}75\cdot v'f_\text{cd}=20{,}0\text{ MPa}
\end{gathered}

Betonová vzpěra se vznikem trhlin:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6\cdot v'f_\text{cd}=16{,}0\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text{ MPa}
\end{gathered}

5.9.1.1 Návrh výztuže modelu A (včetně vodorovného zatížení)

Účinky vodorovné síly ΔT₂₃ ≈ 116 · h_k/h = 116 · 0,5 = 58 kN. V táhle T₂₃ je síla 317 + 58 = 375 kN, staticky nutná plocha výztuže je A_s = 375 000/435 = 862 mm².

Navrhneme 4 dvoustřižné třmínky ø12 mm po 65 mm (A_s = 905 mm²) x₂ = 195.

Těžiště táhla od líce ozubu:

\begin{gathered}
\Delta a=25+98+6=129\text{ mm}
\end{gathered}

Vzdálenost reakce od líce ozubu:

\begin{gathered}
a_\text{c}=175+20=195\text{ mm}
\end{gathered}

V ozubu předpokládáme dvě vrstvy hlavní tahové výztuže z prutů o průměru 16 mm. Vrstvy výztuže uvažujeme po 60 mm (osově).

Těžiště styčníku od dolního líce:

\begin{gathered}
25+12+16/2+60/2=75\text{ mm }(d_\text{k}')
\end{gathered}

Rameno a reakce A bude (vodorovná vzdálenost styčníku 1 a 2):

\begin{gathered}
a=a_\text{c}+\Delta a+H_\text{Ed}/A\cdot(d'_\text{k}+\Delta h)=195+129+116/317\cdot(75+10)=355\text{ mm}
\end{gathered}

Stanovíme polohu styčníku 2:

\begin{gathered}
X=(H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d'_\text{k}+\Delta h)-a)\cdot F_\text{Ed}/(b\cdot\sigma_\text{Rd,max})=(355-116/317\cdot(75+10))\cdot317/(400\cdot22{,}7\cdot10^{-3})=11\space308
\end{gathered}

Řešením kvadratické rovnice je vztah pro výšku styčníku 2:

\begin{gathered}
y_2=(d_\text{k}-\Delta y)\sqrt{(d_\text{k}-\Delta y)^2-2\cdot X}\\\\
y_2=(500-75-25-12)\sqrt{(388)^2-2\cdot11308}=30{,}3\text{ mm}
\end{gathered}

Posuneme styčník 2 ještě o vliv modelu

\begin{gathered}
\text{B}-y_2^{(2)}=317/(400\cdot22{,}7\cdot10^{-3})=34{,}9\\\\
a_\text{d}=c_\text{nom}+\Delta y+y_2/2+y_2^{(2)}=25+12+30{,}3/2+34{,}9/2=69{,}6\text{ mm}
\end{gathered}

Dále stanovíme rameno vnitřních sil ozubu:

\begin{gathered}
z_\text{k}=h_\text{k}-a_\text{d}-d_\text{k}'=500-69{,}6-75=355{,}4\text{ mm}
\end{gathered}

Dále pak sklon tlačené diagonály C₂₁ je

\begin{gathered}
\theta_1=\text{arccot}(a/z_\text{k})=\text{arccot}(355/355{,}4)\to45{,}0\degree
\end{gathered} 

Tlaková síla v betonové vzpěře je

\begin{gathered}
C_{12}=A/\sin\theta_1=317/\sin45{,}0\degree=448{,}3\text{ kN}
\end{gathered}

Nyní stanovíme sílu v táhle T₁₄:

\begin{gathered}
T_{14}=\frac{A\cdot a+H_\text{Ed}(z_\text{k}+d_\text{k}'+\Delta h)}{z_\text{k}}=\frac{317\cdot0{,}355+116\cdot(0{,}3554+0{,}075+0{,}01)}{0{,}3554}=460{,}4\text{ kN}
\end{gathered}

Jako výztuž táhla T₁₄ navrhneme smyčky z průměru ø16 mm. Staticky nutná plocha táhla je 460 400/435 = 1 059 mm². To představuje nejméně čtyři smyčky ø16 umístěné uvnitř tažených třmínků ø12 mm. Skutečná plocha výztuže táhla je 1 609 mm². Při šířce průřezu b = 400 mm a betonovém krytí 25 mm je prostor pro smyčky 400 – 2 · 25 – 2 · 12 = 326 mm. Smyčky mohou být umístěny vždy dvě vedle sebe. Budou tak dvě vrstvy výztuže. Výztuž bude využita z 66 %.

Dále překontrolujeme dostatečné zakotvení smyček.

Základní kotevní délka výztužného prutu: 

\begin{gathered}
l_\text{bd,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{16}{4}\cdot\frac{0{,}66\cdot435}{4{,}35}=264\text{ mm}
\end{gathered}

Návrhová kotevní délka pro smyčku:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{bd,rqd}=0{,}7\cdot264=185\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

kde je

l_b,min … minimální kotevní délka l_b,min ≥ max [0,3 ∙ l_b,rqd; 10 ∙ ø; 100 mm]. 

Pro smyčku je třeba překontrolovat minimální průměr zakřivení prutu ø=16 mm.

Pro krajní smyčku: 

\begin{gathered}
a_\text{b}=25+12+8=45\text{ mm}\\\\
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{0{,}66\cdot87{,}4}{33\space300}\bigg(\frac{1}{0{,}045}+\frac{1}{0{,}032}\bigg)=0{,}093\text{ mm}
\end{gathered}

Pro vnitřní smyčku:

\begin{gathered}
a_\text{b}=60/2=30\text{ mm}\\\\
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{0{,}66\cdot87{,}4}{33\space300}\bigg(\frac{1}{0{,}030}+\frac{1}{0{,}032}\bigg)=0{,}112\text{ mm}
\end{gathered}

Při průměru zakřivení 112 mm (7ø) je délka osy čtvrtiny kruhu výztuže 100,5 mm. Zakotvení výztuže uvažujeme od líce roznášecí desky, k dispozici pro zakotvení prutu je tedy délka 250 mm, započítáme-li čtvrtinu délky smyčky, dostaneme délku zakotvení 287 mm, zakotvení výztužné smyčky ø16 vyhovuje. Na druhém konci ve styčníku 4 bude zakotven rovný prut ø16. Poloha styčníku 4 je ve vzdálenosti z₄ od styčníku 2.

\begin{gathered}
z_4=(z-z_\text{k})\cot\theta_1=(0{,}9\cdot950-355{,}4)\cot45\degree=500\text{ mm}
\end{gathered}

Základní kotevní délka bude jiná vzhledem k poloze výztuže:

\begin{gathered}
l_\text{bd,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{16}{4}\cdot\frac{0{,}66\cdot435}{3{,}05}=377\text{ mm}
\end{gathered}

Návrhová kotevní délka:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{bd,rqd}=1{,}0\cdot377=377\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

Smyčky z ø16 je nutné protáhnout nejméně 129 + 476 + 377 = 982 mm od vnitřního líce ozubu.

V táhle T₂₃ je podle modelu náhradní příhradoviny síla rovna reakci A v uložení průvlaku a reakci z vodorovného zatížení ΔT₂₃. V první tlačené vzpěře je síla 375/sin 45° = 530,3 kN.

Svislou a vodorovnou výztuž ozubu (na vznikající příčné tahy) navrhneme po dopočtení modelu B – druhé části.

Dále je nutné posoudit zakotvení hlavní tahové výztuže průvlaku 6ø25. Výztuž je umístěna v jedné vrstvě při spodním líci. Jedná se o nepřímé uložení výztuže. Z modelu náhradní příhradoviny vyplývá, že tahová síla ve výztuži je 460,4 kN (T₃₅ = T₁₄). Výztužné vložky jsou využity ze 36 %.

Základní kotevní délka výztužného prutu:

\begin{gathered}
l_\text{bd,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{25}{4}\cdot\frac{0{,}36\cdot435}{4{,}35}=255\text{ mm}\space\space\text{a}\space\space l_\text{b,min}=250\text{ mm}
\end{gathered}

Návrhová kotevní délka:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{bd,rqd}=1{,}0\cdot225=225\text{ mm}\ge l_\text{bd}=l_\text{b,min}=250\text{ mm}
\end{gathered}

Výztužné vložky jsou uloženy ve třmínkách v délce 195 mm. Kotvení je nutné posílit, optimálním řešením je doplnění příložných smyček v dalších vrstvách dolní výztuže Vodorovné příložky nutno navrhnout na sílu T₃₅‚:

\begin{gathered}
T_{35}'=T_{35}\frac{l_\text{bd}-l_\text{bd,exist}}{l_\text{bd}}=460{,}4\frac{250-195}{250}=101{,}3\text{ kN}\space\space\text{navrhneme}\space\space4\text{x}\phi10
\end{gathered}

A svislé příložky nutno navrhnout na sílu T‘₂₃, kterou vyjádříme jako:

\begin{gathered}
T_{23}'=T_{23}\frac{l_\text{bd}-l_\text{bd,exist}}{l_\text{bd}}=375\frac{250-195}{250}=82{,}5\text{ kN}\space\space\text{navrhneme}\space\space4\text{x}\phi10
\end{gathered}

5.9.1.2 Návrh výztuže druhého modelu B

Sklon šikmé výztuže je dán geometrií modelu, z geometrie vyplývá klon θ₂ = 48. Síla v šikmém táhle je

\begin{gathered}
T_{23}=317/\sin48\degree=426{,}7\text{ kN}
\end{gathered}

Navrhneme šikmou výztuž z profilů ø22 mm. Staticky plocha výztuže je

\begin{gathered}
426\space700/435=981\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrhneme smyčky z 4 x ø20. Skutečná nutná plocha výztuže 4 x ø20 je 1 257 mm². Využití prutů táhla je 78 %.

Překontrolujeme zakotvení smyčkami:

\begin{gathered}
l_\text{bd,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{20}{4}\cdot\frac{0{,}78\cdot435}{4{,}35}=390\text{ mm}
\end{gathered}

Základní kotevní deska:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{bd,rqd}=0{,}7\cdot390=273\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

Je nutné překontrolovat průměr vnitřního zakřivení u smyčky. Smyčky jsou osově vzdáleny 80 mm.

\begin{gathered}
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{0{,}78\cdot136{,}6}{33\space300}\bigg(\frac{1}{0{,}040}+\frac{1}{0{,}040}\bigg)=0{,}160
\end{gathered}

Pro zakotvení je k dispozici délka 200/sin 48° = 269 mm. Při uvažování vnitřní průměr zakřivení 160 mm. K dispozici je délka 269 – 100 + 141 = 310 mm. Kotevní délka prutu se smyčkami vyhovuje.

Konstrukční svislá a vodorovná výztuž ozubu

V tlačené diagonále první části modelu je tlaková síla C₁₂ = 375 kN. Vznikající příčné tahy jsou T = 2 ∙ 0,22 ∙ 375 = 165 kN. Síla T se rozloží do vodorovného T_H a svislého směru T_V.

Ke každému směru připočteme účinky z druhého modelu B.

\begin{gathered}
T_\text{H}=165\cdot\sin45\degree+2\cdot0{,}22\cdot317=256\text{ kN}\to4\text{x}2\phi10\\\\
T_\text{V}=165\cdot\cos45\degree+2\cdot0{,}22\cdot317=256\text{ kN}\to4\text{x}2\phi10
\end{gathered}

Ozub na průvlaku je podobný obrácené nepřímo uložené konzole. Pro konstrukční výztuž lze použít i kritéria minimálního vyztužení z konzol. Každý ozub by měl být vyztužen nejméně dvěma vodorovnými smyčkami s plochou 25 % hlavní tahové výztuže (pro krátké ozuby a_c/h_c ≤ 0,5) a neméně třemi svislými třmínky s únosností nejméně 0,5A (pro ozuby s velkým vyložením).

Konstrukční vodorovná výztuž by měla mít plochu nejméně 0,25 ∙ 1 059 = 265 mm². To představuje nejméně 2 smyčky ø12. Navrženy jsou 4 smyčky – navržená výztuž vyhovuje.

Výztuž je zobrazena na obr. 5.29.

Obr. 5.29  Vyztužení ozubu

5.9.2 Ozub průvlaku 2

5.9.2.1 Návrh stejného ozubu s vyztužením pouze podle modelu A

Zatížení a geometrie a materiály jsou shodná s předchozím příkladem viz obr. 5.28.

Účinky vodorovné síly:

\begin{gathered}
\Delta T_{23}\approx116\cdot h_\text{k}/h=116\cdot0{,}5=58\text{ kN}
\end{gathered}

V táhle T₂₃ je síla:

\begin{gathered}
576+58=634\text{ kN}
\end{gathered}

Staticky nutná plocha výztuže:

\begin{gathered}
A\text{s}=634\space000/435=1\space458\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navrhneme z osmi dvoustřižných třmínků ø12 mm po 50 mm (As = 1 810 mm²).

Těžiště táhla od líce ozubu:

\begin{gathered}
25+175+6=206\text{ mm}
\end{gathered}

Vzdálenost reakce od líce ozubu:

\begin{gathered}
175+20=195\text{ mm}
\end{gathered}

Předpokládáme čtyři vrstvy hlavní tahové výztuže z prutů o průměru 16 mm a vzdálenost vrstev osově je 60 mm.

Poznámka: 
pro tři vrstvy nevyjde průměr vnitřního zakřivení tak, aby bylo možné umístit v každé vrstvě výztuže dvě smyčky vedle sebe.

Těžiště styčníku od dolního líce:

\begin{gathered}
25+12+16/2+90=135\text{ mm}
\end{gathered}

Rameno a reakce A bude (vodorovná vzdálenost styčníku 1 a 2):

\begin{gathered}
a=195+206+116/576\cdot135=428\text{ mm}
\end{gathered}

Stanovíme výšku styčníku 2:

\begin{gathered}
X=(H_\text{Ed}/F_\text{Ed}\cdot(d'_\text{k}+\Delta h)-a)\cdot F_\text{Ed}/(b\cdot\sigma_\text{Rd,max})=(428-116/576\cdot(135+10))\cdot576/(400\cdot22{,}7\cdot10^{-3})=25\space311
\end{gathered}

Řešením kvadratické rovnice je vztah pro výšku styčníku 2:

\begin{gathered}
y_2=(d_\text{k}-\Delta y)\sqrt{(d_\text{k}-\Delta y)^2-2\cdot X}\\\\
y_2=(500-135-25-12)\sqrt{(365-37)^2-2\cdot25\space311}=89\text{ mm}
\end{gathered}

Stanovíme polohu styčníku 2 – těžiště styčníku je od horního líce vzdálenost:

\begin{gathered}
a_\text{d}=25+12+y_2/2=25+12+89/2=25+12+44{,}5=81{,}5\text{ mm}
\end{gathered}

Dále stanovíme rameno vnitřních sil ozubu

\begin{gathered}
z_\text{k}=500-135-81{,}5=284\text{ mm}
\end{gathered}

Dále pak sklon tlačené diagonály C_21:

\begin{gathered}
\theta_1=\text{arccot}(428/284)=33{,}6\degree
\end{gathered}

Tlaková síla v betonové vzpěře je

\begin{gathered}
C_{12}=A/\sin\theta_1=576/\sin33{,}6\degree=1\space041\text{ kN}\\\\
C_{26}=1\space041\cos34\degree=863\text{ kN}
\end{gathered}

Nyní stanovíme sílu v táhle T₁₄:

\begin{gathered}
T_{14}=\frac{A\cdot a+H_\text{Ed}(z_\text{k}+d_\text{k}'+\Delta h)}{z_\text{k}}=\frac{576\cdot0{,}428+116\cdot(0{,}284+0{,}135+0{,}01)}{0{,}284}=1\space043\text{ kN}
\end{gathered}

Jako výztuž táhla T₁₄ navrhneme smyčky z průměru ø16 mm. Staticky nutná plocha táhla je 1 043 000/435 = 2 398 mm². To představuje nejméně osm smyček ø16 umístěné uvnitř tažených třmínků ø12 mm (4 vrstvy). Skutečná plocha výztuže táhla je 3216 mm². Při šířce průřezu b = 400 mm a betonovém krytí 25 mm je prostor pro smyčky 400 – 2 ∙ 25 – 2 ∙ 12 = 326 mm. Smyčky mohou být umístěny vždy dvě vedle sebe. Výztuž bude využita z 74 %.

Dále překontrolujeme dostatečné zakotvení smyček.

Základní kotevní délka výztužného prutu:

\begin{gathered}
l_\text{bd,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{16}{4}\cdot\frac{0{,}74\cdot435}{4{,}35}=296\text{ mm}
\end{gathered}

Návrhová kotevní délka:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{bd,rqd}=0{,}7\cdot296=207\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

kde je

l_b,min … minimální kotevní délka l_b,min ≥ max [0,3 l_b,rqd; 10 ∙ ø; 100 mm].

Pro smyčku je třeba překontrolovat minimální poloměr zakřivení prutu.

Pro krajní smyčku:

\begin{gathered}
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{0{,}74\cdot87{,}4}{33\space333}\bigg(\frac{1}{0{,}045}+\frac{1}{0{,}032}\bigg)=0{,}104\text{ mm}
\end{gathered}

Pro vnitřní smyčku:

\begin{gathered}
\phi_\text{m,min}=\frac{F_\text{bt}}{f_\text{cd}}\cdot\bigg(\frac{1}{a_\text{b}}+\frac{1}{2\phi}\bigg)=\frac{0{,}74\cdot87{,}4}{33\space333}\bigg(\frac{1}{0{,}03}+\frac{1}{0{,}032}\bigg)=0{,}125\text{ mm}
\end{gathered}

Při průměru zakřivení 125 mm je délka osy čtvrtiny kruhu výztuže 110 mm. Zakotvení výztuže uvažujeme od líce roznášecí desky, k dispozici pro zakotvení prutu je tedy délka 250 mm, započítáme-li čtvrtinu délky smyčky, dostaneme délku zakotvení 281 mm, zakotvení výztužné smyčky ø16 vyhovuje.

Poznámka: 
smyčky budou široké 125 + 32 = 157 mm, mezi líci smyček zůstane mezera 326 – 2 ∙ 157 = 12 mm ≤ 1,2 ∙ 16 = 19,2 mm, prostor mezi smyčkami je nedostatečný.

Na druhém konci ve styčníku 4 bude zakotven rovný prut ø16. Poloha styčníku 4 je ve vzdálenosti z₄ od styčníku 2.

\begin{gathered}
z_4=(z-z_\text{k})\cot\theta_1=(0{,}9\cdot950-284)\cot34\degree=847\text{ mm}
\end{gathered}

Základní kotevní délka bude jiná vzhledem k poloze výztuže:

\begin{gathered}
l_\text{bd,rqd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{sd}}{f_\text{bd}}=\frac{16}{4}\cdot\frac{0{,}74\cdot435}{3{,}05}=422\text{ mm}
\end{gathered}

Návrhová kotevní délka:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5\cdot l_\text{bd,rqd}=422\text{ mm}\ge l_\text{b,min}
\end{gathered}

Smyčky z ø16 je nutné protáhnout nejméně 206 + 847 + 422 = 1 475 mm od vnitřního líce ozubu.

V první tlačené vzpěře je síla 1 041 kN.

Konstrukční svislá a vodorovná výztuž ozubu

V tlačené diagonále je tlaková síla 1 041 kN.

C₁₂ = 1041 kN. Vznikající příčné tahy jsou T = 2 ∙ 0,22 ∙ 1041 = 458 kN. Síla T se rozloží do vodorovného T_H a svislého směru T_V.

\begin{gathered}
T_\text{H}=458\cdot\sin34\degree=256\text{ kN}\to3\text{x}2\phi12\\\\
T_\text{V}=458\cdot\cos34\degree=380\text{ kN}\to A_\text{sV}=380\space000/435=874\text{ mm}\to4\text{x}2\phi12
\end{gathered}

Výztuž je zobrazena na obr. 5.30.

Druhé řešení ozubu jen pomocí modelu A je nevhodné, protože vyžaduje velké množství tahové výztuže ve formě smyček při spodním líci. Kombinovaný model A+B dává optimální řešení výztuže oblasti.

Obr. 5.30  Vyztužení ozubu

6 OTVORY V NOSNÍCÍCH

S prostupy v nosnících se velmi často setkáváme jak u monolitických, tak u prefabrikovaných železobetonových konstrukcí. Prostupy se většinou provádějí pro snadnější vedení instalací (obr. 6.1 až obr. 6.2). Prostup v nosníku ovlivňuje průběh vnitřních sil v jeho okolí. Z hlediska návrhu nosníku můžeme prostupy rozdělit na malé a velké. U malých prostupů zůstává v jeho blízkém okolí přibližně v platnosti Bernoulliova hypotéza zachování rovinnosti průřezu po deformaci nosníku a lze vytvořit běžný příhradový model nosníku s přihlédnutím k poloze prostupu. Zpravidla se jedná o kruhové prostupy. Pokud je prostup nevhodně umístěn nebo je velký, neplatí zde už Bernolliova hypotéza o zachování rovinnosti průřezu. Prostup výrazně ovlivňuje rozdělení vnitřních sil v oblasti prostupu a je nutné vytvořit modely náhradní příhradoviny v D-oblastech před a za prostupem a v horním a dolním pasu kolem prostupu. Pro všechny prostupy platí podmínka plynulého přechodu modelů náhradní příhradoviny do sousedních částí prvku. Velikost poruchové oblasti lze odhadnout na základě Saint Venantovy hypotézy, podle které je délka poruchové oblasti přibližně rovna výšce prvku (obr. 6.3).

Obr. 6.1

Obr. 6.2

Obr. 6.3  Poruchové oblasti kolem prostupu v nosníku

V normě ČSN EN 1992-1-1 [1] nejsou k řešení prostupů bližší pravidla. Při návrhu prostupů v nosnících lze vyjít z předpisů DAfStB 459 [16], DAfStB 525 [20], BetonKalender 2001 [7], BetonKalender 2005 [8], BetonKalender 2009 [10] a podobně. Německé předpisy sice vycházejí z DIN 1045-1 [2], ale vycházejí ze stejných zásad tvorby modelů náhradní příhradoviny jako jsou uvedeny v [1]. Následné posouzení jednotlivých prvků modelu jako jsou styčníky, tlačené a tažené pruty je nutné provést v souladu s ČSN EN 1992-1-1 [1]. Postup návrhu je přiblížen v následujících odstavcích.

Prostupy s přilehlými částmi jsou oblasti, které velmi často rozhodujícím způsobem ovlivňují chování prvků. Prostupům se často nevěnuje dostatečná pozornost, což může vést k nedostatečné únosnosti celého prvku. Kolem prostupů je nutné umístit nosnou výztuž podle závěrů výpočtu a konstrukční výztuž podle zásad uvedených v [1]. V rozích prostupů, ze kterých se šíří poruchové trhliny, je nutné vkládat konstrukční šikmou výztuž, která podstatně zvyšuje duktilitu celé oblasti. Při návrhu oblasti nosníku s prostupem je nutné po dokončení výpočtu a nakreslení výztuže ověřit předpokládanou geometrii modelu náhradní příhradoviny.

6.1 MALÉ KRUHOVÉ PROSTUPY

Nejčastějším případem prostupu v nosníku je malý kruhový otvor. Maximální velikost otvoru závisí na jeho umístění po výšce profilu (obr. 6.2). Maximální možnou velikost otvoru lze také ovlivnit nakloněním třmínků. Správné naklonění třmínků nosníku je v praxi problematické a u monolitických konstrukcí se nedoporučuje. Běžným případem je použití svislých třmínků, které jsou uvažovány v následujících návrhových postupech. Při návrhu D-oblasti je nutné vycházet z rozhodujících vnitřních sil (M_Ed,V_Ed event. N_Ed), které působí v oblasti prostupu. Dále je nutné definovat oblast před a za prostupem s přihlédnutím k umístění prostupu.

Oblast před prostupem je u líce prostupu, ve kterém je posouvající síla v absolutní hodnotě menší než absolutní hodnota posouvající síly za prostupem (obr. 6.4). Polohu oblasti za prostupem ovlivňuje tlačená betonová diagonála, umístěná nad nebo pod prostupem (obr. 6.4). Rozhodující posouvající síla pro návrh svislého táhla F_t1 bude ta, která působí před prostupem. Pro návrh betonové vzpěry a svislého táhla F_t2 se uvažují vnitřní síly, které působí v řezu ve středu délky betonové vzpěry. V oblasti před prostupem vzniká táhlo F_t1 s koncentrovanou třmínkovou výztuží v šířce e₁ Za prostupem není táhlo bezprostředně u prostupu, ale koncentrované třmínky začínají v oblasti odsunuté o e_{2 –} 2r od líce prostupu v závislosti na geometrii diagonální vzpěry (r je poloměr kruhového prostupu). Táhlo za prostupem F_t2 předpokládáme rovněž v šířce e₁. Šikmá betonová vzpěra se opírá do oblasti uzavřené třmínky. Při horním líci nosníku se jedná o styčník CTC a při spodním líci nosníku o styčník CTT. Velikost styčníků a zakotvení táhel bylo uvedeno v kap. 1 nebo [26]. Obdobně jako u všech poruchových oblastí vznikají v betonové vzpěře příčné tahy – viz kap. 1, které je nutné vykrýt svislými třmínky a vodorovnými příložkami. Kolem prostupu je nutné konstrukčně doplnit i šikmé příložky, které redukují rozvoj diagonálních trhlin v tažených částech prostupu. Z modelu náhradní příhradoviny (obr. 6.4) vyplývá optimální umístění otvoru přímo nad dolním taženým pasem, nebo pod horním tlačeným pasem při návrhu svislých třmínků a ve středu výšky při použití šikmých třmínků (obr. 6.5 a obr. 6.6). Alternativně k modelu uvedenému na obr. 6.7 se někdy používá model podle obr. 6.7 a obr. 6.8, který však nepopisuje dostatečně příčné tahy.

Obr. 6.4  Základní model náhradní příhradoviny pro malý kruhový postup

Obr. 6.5  Modely náhradní příhradoviny po více malých kruhových prostupů

Obr. 6.6 Model náhradní příhradoviny pro malý kruhový postup ve středu výšky nosníku

Obr. 6.7 Alternativní model náhradní přihradoviny pro malý kruhový prostup

Obr. 6.8  Alternativní model náhradní příhradoviny pro malý kruhový prostup s rozšířenou vzpěrou

Pro návrh D-oblasti v okolí malého kruhového prostupu vyjdeme z geometrie průřezu nosníku a z velikosti kruhového prostupu o poloměru r. Předpokládáme nosník o celkové výšce h, výšce horního pasu nad prostupem h_h a výšce dolního pasu pod prostupem h_d. Dále známe rameno vnitřních sil z v místě před prostupem (obr. 6.4). Při návrhu postupujeme následovně:

• Nejprve stanovíme výztuž v táhle před prostupem a šířku táhla e₁. Plocha výztuže A_s1 se stanoví

\begin{gathered}
A_\text{s1}=\frac{F_\text{t1}}{f_\text{ywd}}=\frac{|V_\text{Ed1}|}{f_\text{ywd}}
\end{gathered}

(6.1)

kde je

f_ywd … návrhová pevnost smykové výztuže – třmínků;

V_Ed1 … návrhová posouvající síla, působící v líci před prostupem.

Při návrhu výztuže stanovíme průřez třmínků, jejich počet a vzdálenost, dále pak stanovíme šířku táhla e₁. Šířka táhla je rovna vzdálenosti vnějších líců třmínků táhla.

• Z geometrie oblasti stanovíme úhel θ podle detailu na obr. 6.4. Úhel θ sklonu tlačené betonové diagonály stanovíme ze vztahu:

\begin{gathered}
\theta=90\degree-(\alpha_1+\alpha_2)
\end{gathered}

(6.2)

kde je

α₁ a α₂ … pomocné úhly, které stanovíme z následujících vztahů:

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctg}\bigg(\frac{e_1+r}{h_\text{h}-0{,}4x+r}\bigg)\\\\
\alpha_2=\text{arcsin}\Bigg(\frac{r}{\sqrt{(e_1+r)^2+(h_\text{h}-0{,}4x+r)^2}}\Bigg)
\end{gathered}

kde je

x … výška tlačené oblasti v průřezu (před prostupem).

Přitom je třeba dodržet omezení sklonu tlačené diagonály podle normy [1]

\begin{gathered}
21{,}8\degree\le\theta\le45\degree
\end{gathered}

Nutné je dodržet i omezení výšky tlačené oblasti.

• Pomocí úhlu sklonu α stanovíme šířku betonové vzpěry c₁:

\begin{gathered}
c_1=e_1\cdot\sin\theta
\end{gathered}

(6.3)

• Ověříme napětí v betonové vzpěře – viz kap. 1.2

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{|V_\text{Ed1}|}{b\cdot c_1\cdot\sin\theta}\le\sigma_\text{Rd,max}
\end{gathered}

(6.4)

kde je

b … rozhodující šířka nosníku;

σ_Rd,max … návrhové napětí na mezi únosnosti tlačené betonové vzpěry při vzniku příčných trhlin (vztah 6.56N [1]);

V_Ed1 … návrhová posouvající síla, působící v řezu před prostupem.

• V taženém spodním pasu bude působit síla F_t :

\begin{gathered}
F_\text{t}=\frac{M_\text{Ed2}+N_\text{Ed2}\cdot z_1}{z}+\frac{|V_\text{Ed2}|}{\tan\theta}+N_\text{Ed2}
\end{gathered}

(6.5)

kde je

z₁ … vzdálenost těžiště tažené výztuže k těžišti průřezu;

M_Ed2 … návrhový ohybový moment v řezu ve středu délky betonové vzpěry;

N_Ed2 … návrhová normálová síla, působící v řezu ve středu délky betonové vzpěry v těžišti nosníku (kladné znaménko je u tahu);

V_Ed2 … návrhová posouvající síla, působící v řezu za prostupem.

• V tlačeném horním pasu bude působit síla F_c. Rozhodující vnitřní síly jsou stejné jako u vzorce (6.5).

\begin{gathered}
F_\text{c}=\frac{-M_\text{Ed2}-N_\text{Ed2}\cdot z_1}{z}-|V_\text{Ed}|\cdot\cot\theta
\end{gathered}

(6.6)

• Překontrolujeme únosnost v horním a spodním pasu a geometrii modelu náhradní příhradoviny. Při změně geometrie je nutné opakovat výpočet.
• V dalším kroku navrhneme výztuž, zachycující vznikající příčné tahy v betonové vzpěře. Navrhneme ortogonální výztuž. Pro návrh výztuže použijeme principy uvedené v kap. 1. Vzhledem k tomu, že se předpokládá vznik příčného tahu především ve čtvrtinách délky betonové vzpěry, je nutné vložit svislé třmínky a vodorovné příložky i do horní části nosníku nad prostupem.
• Pro spolehlivý přenos sil ve styčnících je nutné překontrolovat zakotvení třmínků, působících jako táhla v oblasti styčníku – bližší viz kap. 1.

Pro první posouzení vhodnosti kruhového prostupu lze použít diagramy na následujících grafech (obr. 6.9). Na obrázcích představuje vztažná posouvající síla v‘_Ed hodnotu podle vztahu:

\begin{gathered}
v'_\text{Ed}=|V_\text{Ed}|/(b\cdot z\cdot v'\cdot f_\text{cd})
\end{gathered}

(6.7)

kde kromě již výše uvedených proměnných je hodnota v‘= 1 – f_ck/250 podle [1]. Hodnoty odečtené z grafu jsou pouze informativní.

a) h_d/z = 0,10

b) h_d/z = 0,25

Obr. 6.9  Maximální informativní velikost malého kruhového prostupu v nosníku v závislosti na výšce dolního pasu

6.2 NĚKOLIK MALÝCH KRUHOVÝCH PROSTUPŮ

Pokud kruhové prostupy jsou v takové vzdálenosti, že oblasti diskontinuity se nepřekrývají, lze oblast kolem každého prostupu posuzovat samostatně. Například u prvního nosníku uvedeného na obr. 6.10 a zůstala oblast B mezi oblastí D u prostupu a oblastí D v místě uložení nosníku. U nosníku na obr. 6.10b, ale obě D-oblasti (u otvoru a v místě uložení nosníku) na sebe přímo navazují; model náhradní příhradoviny je zde ovlivněn navazujícími D- oblastmi. Pokud se oblast D s kruhovým prostupem posune ještě více k místu uložení (nosník na obr. 6.10c), obě D-oblasti splynou.

Při návrhu modelu náhradní příhradoviny podle obr. 6.4 vzniká nad betonovou diagonální vzpěrou prostor pro druhý kruhový prostup (obr. 6.5). Při vhodném umístění druhého prostupu se model náhradní příhradoviny příliš nezmění. Dále pokud takováto dvojice kruhových prostupů bude od druhé dvojice prostupů dostatečně vzdálena (s ≥ z ∙ cot θ), lze postupovat při návrhu D-oblastí jako u jednotlivých dvojic prostupů (obr. 6.5). Pokud však budou dvojice prostupů vzájemně blíže (z ∙ cot θ > s ≥ e₁), musí se při návrhu D-oblasti vytvořit pro obě dvojice prostupů společný model náhradní příhradoviny (obr. 6.5).

Pokud se kruhový prostup posouvá do středu průřezu, je výhodné v této oblasti použít šikmé třmínky. Odpovídající modely náhradní příhradoviny jsou na obr. 6.6 a obr. 6.11. Na obrázku obr. 6.6 je model pro samostatný prostup a na druhém obr. 6.11 je model náhradní příhradoviny pro řadu prostupů. Systém šikmých třmínků je nutné doplnit další ortogonální výztuží pro zachycení příčných tahů, vznikajících v betonových vzpěrách. Na obr. 6.12 je zobrazeno uspořádání výztuže v oblasti dvou kruhových prostupů železobetonového střešního vazníku.

Obr. 6.10  Modely náhradní příhradoviny pro konec nosníku s malým kruhovým prostupem

Obr. 6.11  Model náhradní příhradoviny pro více malých kruhových prostupů v středu výšky nosníku

Obr. 6.12

Pro výpočet poruchové oblasti nosníku v okolí prostupů je výhodné použít nelineární analýzu, například program ATENA 2D (obr. 6.13 a obr. 6.14). Nelineární analýzy oblastí s kruhovými prostupy dokládají poměrně dobrou shodu s teoretickým modelem náhradní příhradoviny. U nelineárních metod je nutné uvážit působení betonu v tahu, se kterým se podle ČSN EN 1992-1-1 [1] v mezním stavu únosnosti nepočítá.

Obr. 6.13  Nelineární řešení oblasti s malým prostupem s naznačeným modelem náhradní příhradoviny

Obr. 6.14  Nelineární řešení oblasti s malými kruhovými prostupy s naznačeným modelem náhradní příhradoviny

6.3 VELKÉ PROSTUPY V NOSNÍKU

U velkých prostupů v nosníku dochází k deplanaci příčného průřezu a neplatí Bernoulliova hypotéza. Kolem velkého prostupu vznikají poruchové D-oblasti, které řešíme pomocí náhradní příhradoviny (obr. 6.3 a obr. 6.15). Na rozdíl od řešení malých prostupů nelze vytvořit jeden univerzální model náhradní příhradoviny. Modely jsou závislé nejen na geometrii prostupu, nosníku a možnostech vyztužení oblasti, ale i na zatěžovací kombinaci (model A – viz dále). Ohraničení oblastí D kolem prostupu vychází opět ze Saint Venantova principu. Předpokládá se, že vzniká poruchová oblast před a za prostupem v délce rovné výšce průřezu od líce prostupu, která dále pokračuje do jednotlivých pasů na délku rovnou výškám jednotlivých pasů (obr. 6.3b).

Obr. 6.15  Poruchová oblast kolem velkého obdélníkového prostupu

Vnitřní část horního a dolního pasu se uvažuje jako standardní nosníková B-oblast. Pro výpočet D-oblastí kolem velkého prostupu byla vytvořena řada modelů náhradní příhradoviny. Při jejich sestavování se vychází z rozdělení vnitřních sil na vnitřní síly vzniklé z vnějšího zatížení (primární) a vnitřní síly (sekundární – druhotné) vzniklé ze změny průřezu. Působící ohybový moment se primárně rozdělí do dvojice sil, působící v těžištích horního a dolního pasu. V místě vetknutí pasů do plného průřezu vznikají druhotné vnitřní síly. Vetknutí pasů se analyzuje modelem náhradní příhradoviny. Tak vzniká poměrně komplikovaný komplexní model náhradní příhradoviny. V literatuře jsou nejčastěji publikovány tři modely náhradní příhradoviny A, B a zjednodušený model podle DAfStB 459 [16]. Nejčastěji se používá zjednodušený model podle [16]. Modely A a B jsou přesnější, ale při řešení oblasti výrazně náročnější. Přínosem modelů A a B je, kromě přesnějšího popisu chování oblasti, i úspora výztuže ve srovnání se zjednodušeným modelem. Modely nejsou navrženy pro prostupy, které jsou ve středu rozpětí nosníků se symetrickým zatížením. V tomto případě lze využít pro modelování oblasti redukci dolního pasu na táhlo a horního na tlačený pás. Při tvorbě modelu náhradní příhradoviny podle [16] se vychází z analogie s Vierendeelovým nosníkem. Nosné prvky kolem prostupu se uvažují jako obdélníkový rám s nekonečně tuhými stojkami (navazují na celý průřez nosníku). Horní příčel tvoří horní pas nosníku nad prostupem a dolní příčel tvoří dolní pas nosníku pod prostupem. V následujících vztazích jsou veličiny horního pasu označeny indexem h a veličiny dolního pasu označeny indexem d. Nelineární řešení nosníky s velkým prostupem je na obr. 6.16.

Obr. 6.16 Příklad nelineárního řešení poruchové oblasti kolem velkého obdélníkového prostupu

Návrh výztuže příčlí se provádí podle nosníkové teorie – oblast B. Nosníky horního a dolního pasu jsou nepřímo uložené do masivní části průřezu (u samostatných prostupů) – viz [28]. U nepřímého uložení je nutné také uvažovat zvětšení maximální tahové síly v dolním pasu o hodnotu 0,5V_Ed·cot θ podle vztahu (6.18) ČSN EN 1992-1-1 [1]. Posouzení horního tlačeného pasu lze provést na maximální ohybový moment v místě vetknutí, což je to na straně bezpečnosti. Poruchovou oblast horního pasu v místě uložení není nutné samostatně posuzovat, rozhodující pro návrh je tlačená betonová diagonála pasu. V taženém dolním pasu je vhodné volit sklon tlačené diagonály θ_d = 45°. Pokud je tažený pas nízký, je optimální vůbec nepředpokládat přenos posouvající síly, pas se tak redukuje na táhlo [7].

6.4 ROZDĚLENÍ VNITŘNÍCH SIL KOLEM PROSTUPU

Pro návrh velkého prostupu je nutné nejprve rozdělit vnitřní síly v oblasti prostupu do horního a dolního pasu. Z celkového modelu prvku stanovíme vnitřní síly v místě prostupu bez ohledu na prostup v nosníku metodami lineární analýzy. Uvedené zjednodušení umožňuje i ČSN EN 1992-1-1 [1]. V praxi se běžně řeší prostupy až po dokončení celkové analýzy konstrukce, protože dříve nejsou k nim podklady. Uvedeným zjednodušením není nutné opravovat celkovou analýzu konstrukce při upřesnění prostupů.

Pro zjednodušení se neuvažuje s působením zatížení přímo ani na horním, ani na dolním pasu. Na dolním pasu zatížení obvykle nepůsobí, prostupem prochází technologie, která se o dolní pas neopírá. Na horním pasu naopak takřka vždy působí zatížení. Jeho vliv na průběh momentů v horním pasu se obvykle zanedbává. Pokud by vliv zatížení na průběh momentů v horním pasu nebyl zanedbatelný (například při působení většího osamělého břemene apod.), je nutné upravit příslušně model náhradní příhradoviny (viz obr. 6.17).

Obr. 6.17  Příklady průběhu ohybového momentu na idealizovaném rámu kolem velkého prostupu

Rozdělení vnitřních sil do horního a dolního pasu je nutné pro návrh výztuže obou pasů a pro celkový návrh oblasti zjednodušeným modelem podle DAfStB 459 [16]. U přesnějších modelů A a B se rozdělení vnitřních sil neužívá.

6.4.1 Rozdělení posouvajících sil

Na rozdělení posouvajících sil do horního a dolního pasu není jednotný názor. Problém spočívá ve změně únosnosti průřezu při působení normálové síly. Při taženém průřezu únosnost betonové části průřezu klesá o cca 15 % normálového napětí, které působí v průřezu, a naopak při tlačeném průřezu únosnost přibližně o stejnou hodnotu roste. Dolní pas u prostupu je většinou tažen a často porušen trhlinami po celé výšce. Únosnost dolního pasu je výrazně nižší a v literatuře se uvádí, že dolní pas přenáší pouze 10 % až 20 % celkové posouvající síly [16]. Vliv rozdělení posouvajících sil nemá na konečný návrh oblasti rozhodující vliv. V praxi se používají podle [16] následující metody rozdělení:

• Rozdělení posouvajících sil v poměru momentů setrvačnosti. Rozdělení vychází z lineárně pružného řešení rámu bez vlivu smykových deformací a bez vlivu změny únosnosti průřezu vlivem normálových sil:

\begin{gathered}
V_\text{Ed,h}=V_\text{Ed}\frac{I_\text{h}}{I_\text{h}+I_\text{d}}\space\space\text{a}\space\space V_\text{Ed,d}=V_\text{Ed}\frac{I_\text{d}}{I_\text{h}+I_\text{d}}
\end{gathered}

(6.8)

kde je

I_h a I_d … monety setrvačnosti horního, resp. dolního pasu;

V_Ed … rozhodující posouvající síla z celkové analýzy prvku.

• Rozdělení posouvajících sil na základě parametrických studií:

\begin{gathered}
V_\text{Ed,d}=V_\text{Ed}\frac{\sqrt{A_\text{d}I_\text{d}}}{\sqrt{A_\text{h}I_\text{h}}+\sqrt{A_\text{d}I_\text{d}}}\space\space\text{a}\space\space V_\text{Ed,h}=V_\text{Ed}-V_\text{Ed,d}
\end{gathered}

(6.9)

• Upravené rozdělení posouvajících sil v poměru upravených momentů setrvačnosti:

\begin{gathered}
V_\text{Ed,h}=V_\text{Ed}\frac{I_\text{h}}{I_\text{h,zvt}+I_\text{d,red}}\space\space\text{a}\space\space V_\text{Ed,d}=V_\text{Ed}\frac{I_\text{d}}{I_\text{h,zvt}+I_\text{d,red}}
\end{gathered}

(6.10)

kde je

I_d,red … redukovaný moment setrvačnosti dolního pasu porušeného trhlinami;

I_h,zvt … zvětšený moment setrvačnosti tlačeného horního pasu.

Úpravu únosností můžeme stanovit ze změny únosnosti průřezu při tahové a tlakové normálové síle podle vztahu (6.2) z ČSN EN 1992-1-1 [1]. Únosnost horního nebo dolního pasu stanovíme s vlivem normálové síly. Poměrem mezi změněnou únosností a únosností bez normálového napětí potom upravíme moment setrvačnosti průřezu dolního nebo horního pasu. Pro velmi štíhlé dolní pasy lze zredukovat dolní pas na tažený prvek a neuvažovat s přenosem posouvající síly. Tento princip lze využít jako zjednodušení při výpočtu mezních stavů použitelnosti.

6.4.2 Rozdělení normálových sil

Normálové síly se rozdělí do horního a horního pasu v závislosti vzdáleností těžišť jednotlivých pasů od těžiště otvoru, viz obr. 6.18 (tlaková normálová síla je záporná, tahová normálová síla kladná). Rozdělení vychází z podmínky rovnováhy ve vodorovném směru a z momentové podmínky k působišti celkové normálové síly:

\begin{gathered}
N_\text{Ed}=N_\text{Ed,hN}+N_\text{Ed,hN}\space\space\text{a}\space\space0=N_\text{Ed,hN}\cdot z_\text{hN}+N_\text{Ed,dN}\cdot z_\text{dN}\\\\
N_\text{Ed,dN}=N_\text{Ed}\frac{z_\text{dN}}{z_\text{dN}+z_\text{hN}}\space\space\text{a}\space\space N_\text{Ed,hN}=N_\text{Ed}\frac{z_\text{hN}}{z_\text{dN}+z_\text{hN}}
\end{gathered}

(6.11)

Obr. 6.18 Rozdělení normálových sil do horního a dolního pasu kolem velkého prostupu – podrobný model

Obr. 6.19  Rozdělení normálových sil do horního a dolního pasu zjednodušený model

Normálová síla N_Ed se před prostupem rozdělí na část odpovídající hornímu pasu N_Ed,h a část odpovídající dolnímu pasu N_Ed,dN. Pro model náhradní příhradoviny musíme definovat vzdálenost prutů T_N a C_N – viz obr. 6.18 a obr. 6.19. Vzdálenost mezi tahovou a tlakovou silou označujeme z_CT a lze ji stanovit podle vztahu:

\begin{gathered}
z_\text{CT}\approx0{,}6(z_\text{dN}+z_\text{hN})
\end{gathered}

(6.12)

Tahová síla T_N při okraji otvoru je rovna:

\begin{gathered}
T_\text{N}=N_\text{Ed,hN}\cdot\frac{z_\text{hN}}{z_\text{CT}}=N_\text{Ed,dN}\cdot\frac{z_\text{dN}}{z_\text{CT}}
\end{gathered}

Po dosazení dostaneme:

\begin{gathered}
T_\text{N}=N_\text{Ed,hN}\cdot\frac{z_\text{hN}}{0{,}6\cdot(z_\text{dN}+z_\text{hN})}=N_\text{Ed,dN}\cdot\frac{z_\text{dN}}{0{,}6\cdot(z_\text{dN}+z_\text{hN})}
\end{gathered}

(6.13)

Pro modely, u kterých normálová síla není hlavním namáháním prvku, lze rameno dvojice sil z_CT převzít shodně s dílčími modely pro posouvající sílu a ohybový moment – viz modely A, B a zjednodušený model.

Pokud je prostup umístěn excentricky nebo pokud je normálová síla excentrická, vznikají v horním a dolním pasu různá namáhání, a tím i různá přetvoření, která vedou k natočení průřezu (obr. 6.18). Úhel natočení lze odhadnout podle vztahu:

\begin{gathered}
\Delta\phi=\frac{I_\text{ot}N_\text{Ed,N}}{E_\text{c}\cdot(z_\text{dN}+z_\text{hN})^2}\cdot\bigg(\frac{z_\text{dN}}{A_\text{h}}-\frac{z_\text{hN}}{A_\text{d}}\bigg)
\end{gathered}

(6.14)

kde je

E_c … modul pružnosti betonu;

A_d, A_h … plocha průřezu dolního (horního) pasu.

Pro zjednodušení se neuvažuje s působením zatížení přímo na horním ani na dolním pasu. Pokud na oba pasy nepůsobí zatížení, lze uvažovat průběh ohybových momentů lineární (obr. 6.15). Pro rozdělení momentů je rozhodující stanovit bod s nulovým momentem. Jako první přiblížení lze umístit nulový bod do poloviny rozpětí horního pasu. To však vede k podhodnocenému ohybovému momentu při návrhu výztuže obou pasů.

Pro stanovení polohy x nulového bodu lze použít následující postupy:

• Pro poměr h_ot/h ≤ 0,5 platí:

\begin{gathered}
\frac{x}{I_\text{ot}}=\frac{1}{2}-\frac{M_\text{Ed}}{37\cdot V_\text{Ed}\cdot I_\text{ot}}\bigg[\frac{\text{max}(h_\text{h}{;}h_\text{d})}{\text{min}(h_\text{h}{;}h_\text{d})}\bigg]^3
\end{gathered}

(6.15)

• a pro h_ot/h ≥ 0,5 platí:

\begin{gathered}
\frac{x}{I_\text{ot}}=\frac{1}{2}-\frac{M_\text{Ed}}{5\cdot V_\text{Ed}\cdot I_\text{ot}}\bigg[\frac{\text{min}(h_\text{h}{;}h_\text{d})}{\text{max}(h_\text{h}{;}h_\text{d})}\bigg]^3
\end{gathered}

(6.16)

kde je

V_Ed a M_Ed … vnitřní síly na kraji prostupu.

• Poloha nulového bodu x se stanoví ze vztahu:

\begin{gathered}
x=I_\text{ot}\cdot\bigg(\frac{1}{2}-\bigg(\frac{M_\text{Ed}}{V_\text{Ed}\cdot I_\text{ot}}+\frac{1}{2}\bigg)\cdot w\bigg)
\end{gathered}

(6.17)

kde součinitel W se stanoví podle vztahu:

\begin{gathered}
w=\frac{\frac{I_\text{h}}{A_\text{h}}+\frac{I_\text{h}}{A_\text{d}}+\frac{I_\text{h}^2}{I_\text{d}A_\text{h}}+\frac{I_\text{h}^2}{I_\text{d}A_\text{d}}}{z_\text{ot}^2\frac{I_\text{h}}{I_\text{d}}+\bigg(\frac{I_\text{h}}{A_\text{h}}+\frac{I_\text{h}}{A_\text{d}}+\frac{I_\text{h}^2}{I_\text{d}A_\text{h}}+\frac{I_\text{h}^2}{I_\text{d}A_\text{d}}\bigg)}
\end{gathered}

(6.18)

kde je

I_h,d … momenty setrvačnosti horního, resp. dolního pasu;

A_h,d … průřezové plochy horního, resp. dolního pasu;

z_ot … vzdálenost mezi těžištěm horního a dolního pasu.

Pro zjednodušení stanovení nulového bodu lze použít grafů, uvedených na obr. 6.20. Graf je sestaven pro rovnoměrné zatížení prostého nosníku za předpokladu, že nad prostupem není žádné zatížení (viz podmínky metody).

Obr. 6.20  Rozdělení ohybových momentů horního a dolního pasu kolem velkého prostupu (druhotné ohybové momenty)

Pokud je známa poloha nulového bodu x, lze rozdělit vnitřní síly bez řešení staticky neurčitého rámu. Pokud označíme za rozhodující vnitřní síly na celkovém prvku M_Ed a V_Ed hodnoty odpovídající poloze nulového bodu x v rámci prostupu, pak lze primární vnitřní síly stanovit podle následujících vztahů.

Návrhové ohybové momenty horního a dolního pasu v líci prostupu:

\begin{gathered}
M_\text{Ed,h}=\text{max}[V_\text{Ed,h}\cdot x;V_\text{Ed,h}\cdot(I_\text{ot}-x)]\space\space\text{a}\space\space M_\text{Ed,d}=\text{max}[V_\text{Ed,h}\cdot x;V_\text{Ed,h}\cdot(I_\text{ot}-x)]
\end{gathered}

(6.19)

Návrhové normálové síly z nahrazení momentu M_Ed dvojicí vnitřních sil:

\begin{gathered}
N_\text{Ed,h}=-\frac{M_\text{Ed}}{z_\text{dN}+z_\text{hN}}\space\space\text{a}\space\space N_\text{Ed,h}=\frac{M_\text{Ed}}{z_\text{dN}+z_\text{hN}}
\end{gathered}

(6.20)

Všechny modely (A, B a zjednodušený model podle DAfStB 459 [16]) dávají před a za prostupem ve třmíncích tahové síly větší než odpovídající tahové síly při řešení B-oblasti, za předpokladu, že by nosník neměl v daném místě prostup (důležité kritérium pro ověření výsledků). Soustředěná třmínková výztuž není umístěna jen bezprostředně u líce prostupu, ale také v určité vzdálenosti od líce. To je nutné mít na paměti při stanovení kotevní délky podélných příložek kolem prostupu. Příložky nemohou být protaženy za líc prostupu jen na kotevní délku, to je naprosto nedostatečné. Příložky u tažených rohů musí být protaženy až do příslušných styčníků a tam teprve zakotveny. Pokud se nepoužijí zjednodušené modely náhradní příhradoviny a vytvoří model náhradní příhradoviny přímo pro daný nosník s prostupem obr. 6.21, je nutné v taženém dolním pásu pod otvorem zohlednit obvykle výrazně menší únosnost dolního pasu z důvodu tahu.

Obr. 6.21  Příklady modelů náhradní příhradoviny pro nosník s velkým prostupem

6.5 MODEL A PRO NÁVRH OBLASTI KOLEM PROSTUPU

Model A vychází z předpokladu, že tahové a tlakové síly z horního a dolního pasu ovlivňují tvar krajních tlačených diagonál C₂ a C₁₂ (obr. 6.22a,b a obr. 6.23a,b ). Tahová síla z horního pasu A₁ způsobí v tlačené vzpěře C₂ její vychýlení (styčník 4 – obr. 6.22a,b a obr. 6.23b). Jedná se o kinematický model náhradní příhradoviny, což představuje pro každou zatěžovací kombinaci vytvoření samostatného modelu. Pro zajištění univerzálnosti použití modelu jsou použity součinitele κ₁ a κ₂. Součinitele κ₁ a κ₂ se zvolí podle geometrie prostupu a nosníku, podle únosnosti betonu v tlaku a podle možnosti vyztužení dané oblasti. Součinitele se volí obvykle v rozsahu 0,5 < κ₁ < 2,0 a 0,5 < κ₂ < 2,0. Malé hodnoty součinitelů vedou na malé oblasti zakotvení výztuže pasů kolem prostupu a k velké koncentraci tahové výztuže bezprostředně před a za prostupem. Rozdílné polohy těžiště horního a dolního pasu mezi B-oblastí nosníku a horního a dolního pasu kolem prostupu jsou zohledněny úhlem γ₁ a γ₂ podle obr. 6.22a,b a obr. 6.23b.

Obr. 6.22  Podrobný model A pro oblast velkého prostupu – záporná posouvající síla

Obr. 6.23 Podrobný model A pro oblast velkého prostupu – kladná posouvající síla

Model A vychází z obdobného rozdělení vnitřních sil jako u změny průřezu (viz kap. 2). Z modelu je také patrno, že zakotvení vodorovného táhla A₁ je až za styčníkem 4, nikoliv za lícem prostupu. Styčník 4 také určuje polohu druhé oblasti se soustředěnou svislou tahovou výztuží T₁. Pro tahovou sílu T₁ také platí T₁ > T₂. Z toho vyplývá, že koncentrovaná tahová výztuž ve formě třmínků není hned za lícem prostupu. Totéž platí nejen před prostupem, ale i za prostupem (obr. 6.23), kde platí T‘₂ > T‘₁. Podrobný návrh modelu A náhradní příhradoviny pro oblast nosníku s velkým prostupem je proveden v publikaci [16].

Stanovení vnitřních sil kolem prostupu vychází z výpočtu rámu. Sklon tlačených diagonál θ_h a θ_d se stanoví z poměru normálových a posouvajících sil. Při tvorbě modelu lze předpokládat, že sklon tlačených diagonál je mimo krajní diagonální vzpěry shodný. Krajní vzpěra se odchyluje na vzdálenosti κ₁ ∙ z_h ∙ cos θ_h do oblasti před otvorem. Na této vzdálenosti musí veškerou posouvající sílu přenést třmínky. Část posouvající síly připadající na dolní pás se přenese přímo do dolního pasu na vzdálenosti z_d ∙ cos θ_d podle obr. 6.22. Součinitele κ₁, κ₂ slouží především k větší flexibilitě modelu. Součinitele κ₁ a κ₂ se zvolí podle geometrie prostupu a nosníku a podle únosnosti betonu v tlaku a podle možnosti vyztužení oblasti. Součinitele se volí obvykle v rozsahu 0,5 < κ₁ < 2,0 a 0,5 < κ₂ < 1,0.

6.5.1 Základní vztahy modelu A náhradní příhradoviny

Pro návrh předpokládáme, že jsou známé následující veličiny:

• z – rameno vnitřních sil nosníku a ramena vnitřních sil dolní z_d a horního pasu z_h;
  • h_d – výška dolního pasu nosníku pod prostupem;
  • h_h – výška dolního pasu nosníku nad prostupem;
  • θ – sklon tlačených betonových diagonál v oblasti B pro daný nosník;
  • θ_h – sklon tlačných diagonál v horním pasu a θ_d – sklon tlačných v dolním pasu;
  • κ₁ – součinitel pro šířku táhla přiléhajícího k prostupu.

Dále se předpokládají již rozdělené vnitřní síly do horního a dolního pasu.

Horní pas nad prostupem

• Redukovaný sklon první šikmé vzpěry:

\begin{gathered}
\theta_\text{hR}=\text{arctan}\bigg(\frac{2\cdot\tan\theta_\text{h}}{\kappa_1+1}\bigg)
\end{gathered}

(6.21)

• Tlaková síla v horní pasu:

\begin{gathered}
G_2=\frac{-M_\text{Ed,h}+N_\text{Ed,h}z_\text{hN}}{z_\text{h}}+\frac{|V_\text{Ed,h}|}{2\cdot\tan\theta_\text{h}}
\end{gathered}

(6.22)

• Tahová síla při dolním líci horního pasu nad prostupem:

\begin{gathered}
A_1=\frac{|V_\text{Ed,h}|}{\tan\theta_\text{hR}}-G_2+N_\text{Ed,h}
\end{gathered}

(6.23)

• Tlaková síla v první šikmé betonové vzpěře:

\begin{gathered}
C_5=\frac{-|V_\text{Ed,h}|}{\sin\theta_\text{hR}}
\end{gathered}

(6.24)

• Tahová síla T₃ pro návrh třmínkové výztuže horního pasu:

\begin{gathered}
T_3=|V_\text{Ed,h}|
\end{gathered}

(6.25)

Dolní pas pod prostupem

• Tlaková síla při horním líci dolního pasu A₂:

\begin{gathered}
A_2=\frac{-M_\text{Ed,d}+N_\text{Ed,d}z_\text{dN}}{z_\text{d}}+\frac{|V_\text{Ed,d}|}{2\cdot\tan\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.26)

• První tlačená betonová vzpěra dolního pasu:

\begin{gathered}
C_6=\frac{-|V_\text{Ed,d}|}{\sin\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.27)

• Tahová síla T₄ pro návrh třmínkové výztuže dolního pasu:

\begin{gathered}
T_4=|V_\text{Ed,h}|
\end{gathered}

(6.28)

Síly dolního a horního pasu při přechodu z B-oblasti na D-oblast:

\begin{gathered}
G_\text{h}=-\frac{1}{z}\bigg[M_\text{Ed}-V_\text{Ed}\bigg(\frac{1}{2}\kappa_2z\cdot\cot\theta+\kappa_1z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}\bigg)-N_\text{Ed}z_\text{Nh}\bigg]
\end{gathered}

(6.29)

\begin{gathered}
G_\text{d}=-G_\text{h}+N_\text{Ed}+|V_\text{Ed}|\cot\theta
\end{gathered}

(6.30)

Oblast před prostupem

• Odklon horního a dolního pasu:

\begin{gathered}
\gamma_1=\text{arctan}\bigg(\frac{2(z_\text{hG}-z_\text{h})}{\kappa_2z\cdot\cot\theta+\kappa_1z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}}\bigg)\text{(dolní pas)}
\end{gathered}

(6.31)

\begin{gathered}
\gamma_2=\text{arctan}\bigg(\frac{2(z_\text{dG}-z_\text{d})}{\kappa_2z\cdot\cot\theta+\kappa_1z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}}\bigg)\text{(horní pas)}
\end{gathered}

(6.32)

• Síly v hlavních prvcích náhradní příhradoviny oblasti D před prostupem:

\begin{gathered}
C_1=\frac{G_2-|V_\text{Ed,h}|\cot\theta_\text{hR}}{\cos\gamma_1}
\end{gathered}

(6.33)

\begin{gathered}
T_2=G_1\sin\gamma_1+|V_\text{Ed,h}|
\end{gathered}

(6.34)

\begin{gathered}
C_3=\frac{G_\text{d}-|V_\text{Ed,d}|\cot\theta}{\cos\gamma_2}
\end{gathered}

(6.35)

\begin{gathered}
T_1=-G_3\sin\gamma_2+|V_\text{Ed}|
\end{gathered}

(6.36)

• Úhly sklonu osové síly jednotlivých prvků modelu náhradní příhradoviny:

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctan}\bigg(\frac{T_1+G_1\sin\gamma_1}{G_\text{h}-G_1\cos\gamma_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.37)

\begin{gathered}
C_1=\frac{T_1+G_1\sin\gamma_1}{\sin\alpha_1}
\end{gathered}

(6.38)

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctan}\bigg(\frac{-\sin\alpha_2}{A_1/C_1+\cos\alpha_2}\bigg)
\end{gathered}

(6.39)

\begin{gathered}
C_2=C_1\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}
\end{gathered}

(6.40)

\begin{gathered}
\alpha_3=\text{arccot}\bigg[\frac{-C_2\cos\alpha_2+A_2-|V_\text{Ed,h}|/(2z_\text{d})(z_\text{d}\cdot\cot\theta_\text{d}+\kappa_1z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h})}{(T_2-G_3\sin\gamma_2+|V_\text{Ed,u}|)}\bigg]
\end{gathered}

(6.41)

\begin{gathered}
\alpha_4=\text{arccot}\bigg[\frac{1}{\tan\alpha_3}+\frac{1}{2z_\text{d}}(z_\text{d}\cdot\cot\theta_\text{d}+\kappa_1z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h})\bigg]
\end{gathered}

(6.42)

\begin{gathered}
C_4=-\frac{|V_\text{Ed,d}|}{\sin\alpha_4}
\end{gathered}

(6.43)

\begin{gathered}
C_3=-\frac{T_2-G_3\sin\gamma_2}{\sin\alpha_3}
\end{gathered}

(6.44)

\begin{gathered}
G_4=G_3\cos\gamma_2+C_3\cos\alpha_3
\end{gathered}

(6.45)

\begin{gathered}
G_5=G_4+C_4\cos\alpha_4
\end{gathered}

(6.46)

• Napětí v šikmé betonové vzpěře:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{-|V_\text{Ed}|}{b\cdot\kappa_2z\cdot\cot\theta\cdot\sin^2\theta}=\frac{-|V_\text{Ed}|}{b\cdot \kappa_2z\cdot\cos\theta\cdot\sin\theta}
\end{gathered}

(6.47)

• Šířka pasů a napětí v betonu v místech odklonu vzpěr:

e_1=0{,}5z[2\cot\theta-\cot\theta(1+\kappa_2)]

(6.48)

\begin{gathered}
\theta_1=\text{arctan}\bigg(\frac{2\tan\theta}{1+\kappa_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.49)

\begin{gathered}
\theta_2=\text{arctan}\bigg(\frac{z_\text{hG}}{z_\text{hG}\cot\theta_1-e_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.50)

• Horní bod – možné polohy bodu odklonu – platí maximální hodnota z níže uvedených vztahů:

\begin{gathered}
L_\text{xh}=\kappa_1z_\text{h}\cot\theta_\text{h}+\kappa_2z_\text{h}\cot\theta_\text{h}+e_1-z_\text{hG}\cot\theta_1
\end{gathered}

(6.51)

\begin{gathered}
L_\text{xh}=\kappa_2z\cot\theta-2z_\text{hG}(\cot\alpha_1+\cot\theta_2)
\end{gathered}

(6.52)

\begin{gathered}
L_\text{xh}=2(\kappa_1z_\text{h}\cot\theta_\text{h}+z_\text{hG}\cot\alpha_1)+\kappa_2z\cot\theta
\end{gathered}

(6.53)

• Napětí v betonové vzpěře:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=C_2/(b\cdot L_\text{xh}\sin\alpha_2)\le v\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

(6.54)

• Horní bod – možné polohy bodu odklonu – platí maximální hodnota z níže uvedených vztahů:

\begin{gathered}
L_\text{xd}=\kappa_1z_\text{h}\cot\theta_\text{h}+z_\text{d}\cot\theta_1
\end{gathered}

(6.55)

\begin{gathered}
L_\text{xd}=2z_\text{d}(\cot\alpha_4-0{,}5\cot\theta_\text{d})
\end{gathered}

(6.56)

\begin{gathered}
L_\text{xd}=2(0{,}5\kappa_1\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}+z_\text{d}\cot\theta_1-z_\text{d}\cot\alpha_3)
\end{gathered}

(6.57)

• Napětí v betonové vzpěře:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=C_2/(b\cdot L_\text{xd}\sin\alpha_2+h_\text{A}\cos\alpha_2)\le v\cdot f_\text{cd}
\end{gathered}

kde je

h_A … výška tlačeného pasu A₂.

Obdobně se postupuje pro model A s kladnou posouvající sílou podle obr. 6.22b a obr. 6.23b.

6.6 MODEL B PRO NÁVRH OBLASTI KOLEM PROSTUPU

Model B (obr. 6.24) je flexibilnější než model A, není nutné pro každou zatěžovací kombinaci vytvářet nový model. Na druhou stranu předepsaná geometrie modelu náhradní příhradoviny není univerzální a může vést až k nevhodnému řešení oblasti. Při velkých záporných momentech při kraji prostupu je problematické nalézt odpovídající model náhradní příhradoviny.

Obr. 6.24  Podrobný model B pro oblast velkého prostupu – záporná posouvající síla

Model B vychází z obdobného rozdělení vnitřních sil jako u ozubu nosníku (viz kap. 4). Síla A₁ (obr. 6.24) je zakotvena ve styčníku 3, kde se rozloží do betonové vzpěry C₃ a táhla T₁. Celková svislá tahová síla se v oblasti styčníku 3 skládá z T₁ a T₃. Na tuto sílu navrhujeme svislé třmínky. Jejich maximum opět není bezprostředně za lícem prostupu. Totéž platí i pro oblast za prostupem jako u modelu A.

Podrobný návrh modelu B náhradní příhradoviny pro oblast nosníku s velkým prostupem je proveden v publikaci [16].

6.6.1 Základní vztahy modelu B náhradní příhradoviny

Pro návrh předpokládáme, že jsou známé následující veličiny:

• z – rameno vnitřních sil nosníku a ramena vnitřních sil dolní z_d a horního pasu z_h;
• h_d – výška dolního pasu nosníku pod prostupem a h_h a nad prostupem;
• θ – sklon tlačených betonových diagonál v oblasti B pro daný nosník;
• θ_h – sklon tlačných diagonál v horním pasu a θ_d – sklon tlačných v dolním pasu;
• κ₁ – součinitel pro šířku táhla T₂ a κ₂ – součinitel pro šířku táhla T₁.

Dále se předpokládají již rozdělené vnitřní síly do horního a dolního pasu.

Horní pas nad prostupem

• Redukovaný sklon první šikmé vzpěry:

\begin{gathered}
\theta_\text{hR}=\text{arctan}\bigg(\frac{2\cdot\tan\theta_\text{h}}{\kappa_1+1}\bigg)
\end{gathered}

(6.58)

• Tlaková síla v horním pasu:

\begin{gathered}
G_2=\frac{-M_\text{Ed,h}+N_\text{Ed,h}z_\text{hN}}{z_\text{h}}+\frac{|V_\text{Ed,h}|}{2\cdot\tan\theta_\text{h}}
\end{gathered}

(6.59)

• Tahová síla při dolním líci horního pasu nad prostupem:

\begin{gathered}
A_1=\frac{|V_\text{Ed,h}|}{\tan\theta_\text{hR}}-G_2+N_\text{Ed,h}
\end{gathered}

(6.60)

• Tlaková síla v první šikmé betonové vzpěře:

\begin{gathered}
C_8=\frac{-|V_\text{Ed,h}|}{\sin\theta_\text{hR}}
\end{gathered}

(6.61)

Dolní pas pod prostupem

• Tlaková síla při horním líci dolního pasu A₂:

\begin{gathered}
A_2=\frac{-M_\text{Ed,d}+N_\text{Ed,d}z_\text{dN}}{z_\text{d}}+\frac{|V_\text{Ed,d}|}{2\cdot\tan\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.62)

• První tlačená betonová vzpěra:

\begin{gathered}
C_5=\frac{-|V_\text{Ed,d}|}{\sin\theta_\text{d}}-A_2
\end{gathered}

(6.63)

\begin{gathered}
C_7=-|V_\text{Ed,d}|/\sin\theta_\text{d}
\end{gathered}

(6.64)

Síly dolního a horního pasu při přechodu z B-oblasti na D-oblast:

\begin{gathered}
G_\text{h}=-\frac{1}{z}\bigg[M_\text{Ed}-V_\text{Ed}\bigg(\frac{1}{2}\kappa_2z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}+\kappa_1z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}\bigg)- N_\text{Ed}z_\text{Nh}\bigg]
\end{gathered}

(6.65)

\begin{gathered}
G_\text{d}=-G_\text{h}+N_\text{Ed}+|V_\text{Ed}|\cot\theta
\end{gathered}

(6.66)

\begin{gathered}
C_1=\frac{-|V_\text{Ed,d}|}{\sin\theta}
\end{gathered}

(6.67)

Oblast před prostupem

• Geometrie:

\begin{gathered}
e_1=\frac{1}{2}(z\cdot\cot\theta-\kappa_2\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h})
\end{gathered}

(6.68)

\begin{gathered}
\theta_1=\text{arctan}\bigg(\frac{2z}{z\cdot\cot\theta+\kappa_2\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}}\bigg)
\end{gathered}

(6.69)

\begin{gathered}
L_\text{x,d}=z_\text{hG}\cot\theta_1+\kappa_1\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}\space\space\text{a}\space\space\text{L}_\text{x,h}=\kappa_2\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}
\end{gathered}

(6.70)

přitom musí být splněna podmínka:

\begin{gathered}
L_\text{x,h}\le(\kappa_1+\kappa_2)\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}
\end{gathered}

(6.71)

• Odklon horního a dolního pasu:

\begin{gathered}
\gamma_1=\text{arctan}\bigg(\frac{2(z_\text{hG}-z_\text{h})}{(\kappa_2+\kappa_1)z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}}\bigg)
\end{gathered}

(6.72)

\begin{gathered}
\gamma_2=\text{arctan}\bigg(\frac{2(z_\text{dG}-z_\text{d})}{(\kappa_2+\kappa_1)z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}}\bigg)
\end{gathered}

(6.73)

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctan}\bigg(\frac{2(z_\text{hG}-z_\text{ot})}{(\kappa_2+\kappa_1)\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}-z_\text{dG}\cot\theta_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.74)

\begin{gathered}
\alpha_2=\text{arctan}\bigg(\frac{2\cdot z_\text{ot}}{(\kappa_2+\kappa_1)\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}-z_\text{dG}\cot\theta_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.75)

\begin{gathered}
\alpha_3=\text{arctan}\bigg(\frac{2\cdot z_\text{d}}{z_\text{dG}\cot\theta_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.76)

\begin{gathered}
\alpha_4=\text{arctan}\bigg(\frac{2\cdot z_\text{d}}{L_\text{x,d}+z_\text{d}\cot\theta_\text{d}}\bigg)
\end{gathered}

(6.77)

\begin{gathered}
\alpha_5=\text{arctan}\bigg(\frac{2\cdot z_\text{dG}}{(\kappa_2+\kappa_1)\cdot z_\text{h}\cot\theta_\text{h}-z_\text{dG}\cot\theta_1}\bigg)
\end{gathered}

(6.78)

• Síly v hlavních prvcích náhradní příhradoviny oblasti D:

\begin{gathered}
G_1=\frac{G_2+C_8\cot\theta_\text{hR}}{\cos\gamma_1}=\frac{G_2-|V_\text{Ed,h}|\cot\theta_\text{hR}}{\cos\gamma_1}
\end{gathered}

(6.79)

\begin{gathered}
T_2=G_1\sin\gamma_1-C_8\sin\theta_\text{hR}=G_1\sin\gamma_1+|V_\text{Ed,d}|
\end{gathered}

(6.80)

\begin{gathered}
C_2=\frac{G_\text{hd}-G_1\cos\gamma_1}{\cos\alpha_1}
\end{gathered}

(6.81)

\begin{gathered}
T_3=-C_2\sin\alpha_1-G_1\sin\gamma_1
\end{gathered}

(6.82)

\begin{gathered}
C_3=-\frac{A_1}{\cos\alpha_2}
\end{gathered}

(6.83)

\begin{gathered}
T_1=-C_3\sin\alpha_2=A_1\sin\alpha_2
\end{gathered}

(6.84)

\begin{gathered}
C_6=-\frac{|V_\text{Ed,d}|}{\sin\alpha_4}
\end{gathered}

(6.85)

\begin{gathered}
C_4=G_5-C_6\cos\alpha_4=G_5+\frac{|V_\text{Ed,d}|}{\tan\alpha_4}
\end{gathered}

(6.86)

\begin{gathered}
G_3=-\frac{G_4+T_2\cot\alpha_3}{\cos\gamma_2(1+\tan\gamma_2/\tan\alpha_3)}
\end{gathered}

(6.87)

\begin{gathered}
G_5=-\frac{G_4+T_2\cot\alpha_3}{\sin\alpha_3}
\end{gathered}

(6.88)

\begin{gathered}
C_4=-\frac{C_1\sin\theta+G_3\sin\gamma_2+T_3+T_1}{\sin\alpha_5}
\end{gathered}

(6.89)

\begin{gathered}
\alpha_{1{,}2}=\text{arctan}\bigg(\frac{C_2\sin\alpha_1+C_3\sin\alpha_2}{C_2\cos\alpha_1+C_3\cos\alpha_2}\bigg)
\end{gathered}

(6.90)

\begin{gathered}
C_{2{,}3}=\frac{C_2\sin\alpha_1+C_3\sin\alpha_2}{\sin\alpha_3}
\end{gathered}

(6.91)

• Napětí v betonových vzpěrách:

\begin{gathered}
\text{Ve výšce A}_1:\sigma_\text{c{,}2{,}3{,}h}=\frac{C_{2{,}3}}{b\cdot L_\text{x,h}\sin\alpha_{1{,}2}}
\end{gathered}

(6.92)

\begin{gathered}
\text{Ve výšce A}_2:\sigma_\text{c{,}2{,}3{,}d}=\frac{C_{2{,}3}}{b\cdot L_\text{x,d}\sin\alpha_{1{,}2}}
\end{gathered}

(6.93)

\begin{gathered}
\text{Ve vzpěře dole}:\sigma_\text{c{,}1}=\frac{C_1}{b\cdot\kappa_2\cdot z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}\cdot\sin\theta}=\frac{-|V_\text{Ed}|}{b\cdot\kappa_2\cdot z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}\cdot\sin^2\theta}
\end{gathered}

(6.94)

6.7 ZJEDNODUŠENÝ MODEL PRO OBLAST KOLEM PROSTUPŮ

Pro běžnou praxi jsou modely A a B velmi složité. V publikaci [16] DAfStB 459 je navržen zjednodušený postup pro stanovení rozhodujících vnitřních sil v D-oblasti před a za prostupem. Pro zjednodušení jsou síly opatřeny dolním indexem h a d podle toho, zda se jedná o horní nebo dolní pas. Výpočet vychází z rozdělení modelu podle vnitřních sil. Účinky působení normálových sil jsou označeny indexem N, posouvajících sil indexem V a ohybových momentů indexem M.

Pro zjednodušený postup výpočtu jsou vnitřní síly rozděleny do primárních účinků ohybového momentu a posouvající síly (obr. 6.25, obr. 6.26a a obr. 6.26b) a sekundárních účinků z vetknutí pasů do plné části průřezu (obr. 6.27, obr. 6.28a a obr. 6.28b). Zjednodušený postup je navržen pro samostatné velké prostupy, které nejsou ve středu rozpětí nosníku.

Modely pro primární a sekundární účinky jsou složeny a výsledky jsou zjednodušeny do následujících přehledů. Označení jednotlivých sil a jejich polohy jsou patrny z obr. 6.29 pro zápornou posouvající sílu a z obr. 6.30 pro kladnou posouvající sílu.

Obr. 6.25  Model náhradní příhradoviny pro přenos ohybového momentu a posouvající síly kolem velkého prostupu

Obr. 6.26  Modely náhradní příhradoviny pro přenos posouvající síly v dolním a horním pasu

Obr. 6.27  Modely náhradní příhradoviny podle DAfStB 459 pro přenos druhotných momentů

Obr. 6.28 Modely náhradní příhradoviny pro druhotné ohybové momenty v dolním a horním pasu

Obr. 6.29  Zjednodušený model pro oblast velkého prostupu – záporná posouvající síla

Obr. 6.30  Zjednodušený model pro oblast velkého prostupu – kladná posouvající síla

6.7.1 Výpočetní postup pro velký prostup a zápornou posouvající sílu

Šířka táhel

Kolem prostupu vzniknou táhla T₁ a T₂, popřípadě T‘₁ a T‘₂. Šířka táhel záleží na sklonu tlačených diagonál v celém nosníku, v horním a dolním pasu. Šířku lze stanovit následně uvedeným postupem.

O šířkách táhla u prostupu rozhoduje poloha taženého rohu prostupu. Pokud je u dolního pasu, pak rozhoduje výška dolního pasu, a pokud je u horního pasu, rozhoduje o šířce výška horního pasu.

První táhlo před prostupem je široké 1,3h_d. V dolním pasu se uvažuje sklon tlačených diagonál cot θ_d = 1, protože dolní pas je namáhán tahem. V horním pasu se uvažuje sklon tlačených diagonál cot θ ≤ 2,0 a v celém nosníku se uvažuje obvykle sklon tlačených diagonál cot θ ≤ 2,5. Druhé táhlo před prostupem se uvažuje v šířce 0,9h (tedy přibližně d – účinná výška celého průřezu). Vzdálenost táhel se uvažuje hodnotou:

\begin{gathered}
\frac{1}{2}(\kappa\cdot z\cdot\cot\theta+z_\text{d}\cdot\cot\theta_\text{d})
\end{gathered}

(6.95)

Za prostupem má první táhlo šířku 1,3h_h a vzdálenost táhel:

\begin{gathered}
\frac{1}{2}(\kappa\cdot z\cdot\cot\theta+z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h})
\end{gathered}

(6.96)

Součinitel κ se obvykle uvažuje hodntou κ ≈ 0,70.

Síly v horním A₁ a dolním pasu A₂

\begin{gathered}
A_1=\frac{-M_\text{Ed,h}-N_\text{Ed,h}\cdot z_\text{h2}}{z_\text{h}}+\frac{|V_\text{Ed.h}|}{\tan\theta_\text{h}}
\end{gathered}

(6.97)

\begin{gathered}
A_2=\frac{M_\text{Ed,d}-N_\text{Ed,d}\cdot z_\text{h2}}{z_\text{d}}+\frac{|V_\text{Ed.d}|}{\tan\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.98)

\begin{gathered}
T_\text{h}'=\frac{|V_\text{Ed,h}|}{z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}}\space\space\text{a}\space\space T_\text{d}'=\frac{|V_\text{Ed,d}|}{z_\text{d}\cdot\cot\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.99)

Normálová síla vyvolá v táhle T_2N a T_1N následující sílu:

\begin{gathered}
T_\text{2N}=-N_\text{Ed}\cdot\frac{z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})}\cdot\frac{z_\text{hN}}{(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}=-N_\text{Ed}\cdot\frac{z_\text{hN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})}\cdot\frac{z_\text{dN}}{(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}\\\\
T_\text{1N}=N_\text{Ed}\cdot\frac{z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})}\cdot\frac{z_\text{hN}}{(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}=N_\text{Ed}\cdot\frac{z_\text{hN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})}\cdot\frac{z_\text{dN}}{(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}
\end{gathered}

Svislé táhlo T₁

\begin{gathered}
T_1=T_\text{1v}+T_\text{1M}+T_\text{1N}
\end{gathered}

(6.100)

kde

\begin{gathered}
T_\text{1M}=\frac{1{,}3A_1\cdot h_\text{d}\cdot h_\text{h}+1{,}6A_2\cdot h_\text{d}(0{,}8h_\text{h}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}\ge0
\end{gathered}

(6.101)

\begin{gathered}
T_\text{1v}=|V_\text{Ed}|
\end{gathered}

(6.102)

Svislé táhlo T2

\begin{gathered}
T_2=T_\text{2v}+T_\text{2M}+T_\text{2N}
\end{gathered}

(6.103)

kde

\begin{gathered}
T_\text{2M}=\frac{1{,}3A_2\cdot h_\text{d}\cdot h_\text{h}+1{,}6A_1\cdot h_\text{h}(0{,}8h_\text{d}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}
\end{gathered}

(6.104)

\begin{gathered}
T_\text{2v}=|V_\text{Ed,h}|
\end{gathered}

(6.105)

6.7.2 Výpočetní postup pro velký prostup s kladnou posouvající silou obr. 6.30

Šířku táhel a jejich polohu stanovíme stejně jako v předchozím případu velkého prostupu se zápornou posouvající silou.

Síly v horním A1* a dolním pasu A2*

\begin{gathered}
A_2^*=\frac{M_\text{Ed,h}+N_\text{Ed,h}\cdot z_\text{h2}}{z_\text{h}}+\frac{|V_\text{Ed,h}|}{\tan\theta_\text{h}}
\end{gathered}

(6.106)

\begin{gathered}
A_1^*=\frac{-M_\text{Ed,d}-N_\text{Ed,d}\cdot z_\text{d2}}{z_\text{d}}+\frac{|V_\text{Ed,d}|}{\tan\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.107)

\begin{gathered}
T_\text{h}'=\frac{|V_\text{Ed,h}|}{z_\text{h}\cdot\cot\theta_\text{h}}\space\space\text{a}\space\space T_\text{d}'=\frac{|V_\text{Ed,d}|}{z_\text{d}\cdot\cot\theta_\text{d}}
\end{gathered}

(6.108)

Svislé táhlo T₁

\begin{gathered}
T_1^*=T_\text{1v}^*+T_\text{1M}^*+T_\text{1N}^*
\end{gathered}

(6.109)

kde

\begin{gathered}
T_\text{1M}^*=\frac{1{,}3A_1\cdot h_\text{d}\cdot h_\text{h}+1{,}6A_2\cdot h_\text{d}(0{,}8h_\text{h}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}\ge0
\end{gathered}

(6.110)

\begin{gathered}
T_\text{1N}^*=N\frac{z_\text{hN}z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})(0{,}9h+1{,}3h_\text{d})}\space\space\text{a}\space\space T_\text{1v}^*=|V_\text{Ed}|
\end{gathered}

(6.111)

Svislé táhlo T₂

\begin{gathered}
T_2^*=T_\text{2v}^*+T_\text{2M}^*+T_\text{2N}^*
\end{gathered}

(6.112)

kde

\begin{gathered}
T_\text{2M}^*=\frac{1{,}3A_2\cdot h_\text{d}\cdot h_\text{h}+1{,}6A_1\cdot h_\text{h}(0{,}8h_\text{d}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}\ge0
\end{gathered}

(6.113)

\begin{gathered}
T_\text{2N}^*=-N\frac{z_\text{hN}z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})(0{,}9h+1{,}3h_\text{d})}\space\space\text{a}\space\space T_\text{2v}^*=|V_\text{Ed,d}|
\end{gathered}

(6.114)

6.8 PRINCIPY VYZTUŽENÍ OBLASTI V OKOLÍ VELKÝCH PROSTUPŮ

Příklad řešení velkého prostupu nosníku nelineární analýzou programem ATENA 2D je na obr. 6.16. Při srovnání je patrná dobrá shoda s předpokládaným průběhem tlačených diagonál a trhlin. Nelineární metody výpočtu uvažují tahové napětí v betonu, se kterými v mezním stavu únosnosti obvykle neuvažujeme. Tím je pochopitelně ovlivněn přenos sil z tlačených betonových vzpěr do tažené výztuže. Při konzervativním přístupu metodami náhradní příhradoviny neuvažujeme s tahem v betonu; přenos mezi vzpěrou a táhlem se ve styčníku předpokládá soudržností a zajišťuje se ovinutím celé oblasti výztuží – viz [6]. Tím se poloha styčníku posouvá do středu nosníku ve srovnání s nelineární analýzou. Při nelineární analýze je do přenosu síly mezi vzpěrou a táhlem zapojen beton v tahu, který vzhledem k relativně velkému objemu ve srovnání s výztuží významně ovlivňuje geometrii modelu oblasti. Nelineární metody tedy mohou přinést úspory ve stanovení množství výztuže oblasti. Na druhou stranu nejsou současné předpisy připraveny na spolehlivé a dlouhodobé využití betonu v tahu v mezním stavu únosnosti. Při návrhu oblasti pomocí nelineární analýzy je nutné postupovat iteračně. Množství, tvar a polohu výztuže je nutné postupně optimalizovat. Neoptimalizované použití nelineární analýzy při návrhu výztuže může vést až k výraznému podhodnocení výztuže v dané oblasti [12].

6.9 PŘÍKLADY NÁVRHU A VYZTUŽENÍ OBLASTÍ KOLEM PROSTUPŮ

6.9.1 Příklad kruhového prostupu v nosníku

V průvlaku T-průřezu navrhněte výztuž v oblasti kruhového prostupu o průměru 2r = 300 mm. Průvlak má celkovou výšku 1 000 mm, tloušťka desky horní příruby je 200 mm, šířka horní příruby 600 mm, šířka stojiny je 200 mm, dolní výztuž průvlaku je 3ø28. V místě prostupu působí ohybový moment M_Ed = 500 kNm a posouvající síla V_Ed = -250 kN. Průvlak je navržen z betonu třídy C40/50, betonářská výztuž B500B, betonová krycí vrstva 25 mm (třmínků).

Materiály

Beton C40/50:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=26{,}67\text{ MPa};\space\alpha_\text{cc}=1{,}0;\space\varepsilon_\text{cu3}=3{,}5\space‰;\space\eta=1{,}0;\space\lambda=0{,}8;\space v'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}84
\end{gathered}

Styčník s táhlem CCT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85v'\cdot f_\text{cd}=19{,}04\text{ MPa}
\end{gathered}

Vzpěra s příčnými tahy:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6v'\cdot f_\text{cd}=0{,}6\cdot0{,}84\cdot26{,}67=13{,}44\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B: 

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text{ MPa};\space\varepsilon_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

Geometrie

Obr. 6.31  Geometrie oblasti s malým kruhovým prostupem – příklad (naznačené třmínky jsou pro nosníkovou B oblast nosníku)

\begin{gathered}
3\phi28\to A_\text{s}=1\space847\text{ mm}^2
\end{gathered}

Návrh výztuže oblasti

Nejprve stanovíme výztuž v táhle před a za prostupem a šířku svislého táhla e₁. Plocha výztuže A_s1 se stanoví:

\begin{gathered}
A_\text{s1}=\frac{F_\text{t1}}{f_\text{ywd}}=\frac{|V_\text{Ed}|}{f_\text{ywd}}=\frac{0{,}250}{435}=0{,}000575\text{ m}^2\to3\text{x}\space\text{třmen}\space2\phi12\text{ mm}\space\text{po}\space\space0{,}05\text{ m }(A_\text{s1}=679\text{ mm}^2)
\end{gathered}

Šířka táhla F_t1 je

\begin{gathered}
e_1=2\cdot0{,}05+2\cdot0{,}025=0{,}15\text{ m}
\end{gathered}

Výška tlačené oblasti (nosníkové části B) 

\begin{gathered}
x=\frac{0{,}001847\cdot435}{0{,}8\cdot0{,}60\cdot26{,}67}=0{,}0628\text{ m}
\end{gathered}

rameno vnitřních sil je

\begin{gathered}
z=1{,}0-0{,}025-0{,}012-0{,}028/2-0{,}4\cdot0{,}0628=0{,}924\text{ m}
\end{gathered}

Z geometrie oblasti stanovíme úhel θ podle obrázku. Úhel θ sklonu tlačené betonové diagonály stanovíme ze vztahu:

\begin{gathered}
\theta=90\degree-(\theta_1-\theta_2)
\end{gathered}

kde θ₁ a θ₂ jsou pomocné úhly, které stanovíme z následujících vztahů. 

Obr. 6.32  Geometrie oblasti nad prostupem

\begin{gathered}
\alpha_1=\text{arctg}\bigg(\frac{e_1+r}{h_\text{h}-0{,}4x+r}\bigg)=\text{arctg}\bigg(\frac{0{,}15+0{,}15}{0{,}6-0{,}4\cdot0{,}0628+0{,}15}\bigg)=22{,}5\degree\\\\
\alpha_2=\text{arcsin}\bigg(\frac{r}{\sqrt{(e_1+r)^2+(h_\text{h}-0{,}4x+r)^2}}\bigg)=\text{arcsin}\bigg(\frac{0{,}15}{\sqrt{0{,}30^2+0{,}725^2}}\bigg)=11{,}0\degree\\\\
\theta=90\degree-(\theta_1+\theta_2)=90-(22{,}5+11)=56{,}5\degree
\end{gathered}

Přitom je třeba dodržet omezení sklonu tlačené diagonály 21,8° ≤ α.

Pomocí úhlu sklonu α stanovíme šířku betonové vzpěry c₁.

\begin{gathered}
c_1=e_1\cdot\sin\theta=0{,}15\sin56{,}5\degree=0{,}125\text{ m}
\end{gathered}

Ověříme napětí v betonové vzpěře:

\begin{gathered}
\sigma_\text{c}=\frac{|V_\text{Ed}|}{b\cdot c_1\cdot\sin\theta}=\frac{0{,}25}{0{,}25\cdot0{,}125\cdot\sin56{,}5\degree}=0{,}96\text{ MPa}\le\sigma_\text{Rd,max}=13{,}44\text{ MPa}
\end{gathered}

V taženém spodním pasu bude působit síla F_t:

\begin{gathered}
F_\text{t}=\frac{M_\text{Ed}+N_\text{Ed2}\cdot z_1}{z}+\frac{|V_\text{Ed}|}{\tan\theta}+N_\text{Ed}=\frac{500}{0{,}924}+\frac{250}{1{,}51}=706\text{ kN}
\end{gathered}

Staticky nutná plocha výztuže v dolním pasu

\begin{gathered}
A_\text{s}=706\space700/435=1\space624{,}6\text{ mm}^2
\end{gathered}

Navržená výztuž na ohybový moment 3ø28 (1 847mm²) vyhovuje.

V tlačeném horním pasu bude působit síla F_c:

\begin{gathered}
F_\text{c}=-\frac{M_\text{Ed}+N_\text{Ed}\cdot z_1}{z}+\frac{|V_\text{Ed}|}{\tan\theta}=-706{,}7\text{ kN}
\end{gathered}

Síla v betonové vzpěře:

\begin{gathered}
F_\text{C1}=\frac{|V_\text{Ed}|}{\tan\theta}=\frac{250}{\sin56{,}5\degree}=300\text{ kN}
\end{gathered}

V dalším kroku navrhneme výztuž zachycující vznikající příčné tahy v betonové vzpěře obdobně jako u jiných poruchových oblastí. Vzhledem k tomu, že se předpokládá vznik příčného tahu především ve čtvrtinách betonové vzpěry, je nutné vložit svislé třmínky a vodorovné příložky i do horního pasu nosníku nad prostupem.

Půdorysná celková délka tlačené betonové diagonály:

\begin{gathered}
e_1+e_2=z/\tan\theta=0{,}926/1{,}5108=0{,}613\text{ m}
\end{gathered}

Délka horní části tlačené betonové diagonály:

\begin{gathered}
H_\text{H}=r/\tan\alpha_2=0{,}15/\tan11{,}0\degree=0{,}772\text{ m}
\end{gathered}

Šířka vzpěry ve styčníku:

\begin{gathered}
a=0{,}15\cdot\sin56{,}5\degree=0{,}125\text{ m}
\end{gathered}

Vznikající příčné tahy

\begin{gathered}
2T=2\cdot F_\text{c1}\cdot(1-0{,}7\cdot a/h)/4=2\cdot300\cdot(1-0{,}7\cdot0{,}125/0{,}386)/4=116\text{ kN}
\end{gathered}

Svislé třmínky nad otvorem: 

\begin{gathered}
A_\text{sV}=2T\cdot\sin\theta/f_\text{yd}=116\cdot\sin56{,}5\degree/435\space000=0{,}000222\text{ m}^2
\end{gathered}

navržen 1x třmen ø12 (226 mm²).

Vodorovná výztuž nad otvorem: 

\begin{gathered}
A_\text{sH}=2T\cdot\cos\theta/f_\text{yd}=116\cdot\cos56{,}5\degree/435\space000=0{,}000147\text{ m}^2
\end{gathered}

navržen 2x třmen ø10 (314 mm²).

Délka dolní části tlačené betonové diagonály je 1,111 – 0,772 = 0,339 m, vznikající příčné tahy:

\begin{gathered}
2T=2\cdot F_\text{c1}\cdot(1-0{,}7\cdot a/h)/4=2\cdot300\cdot(1-0{,}7\cdot0{,}125/0{,}17)/4=72{,}8\text{ kN}
\end{gathered}

Svislé třmínky za otvorem: 

\begin{gathered}
A_\text{sV}=2T\cdot\sin\alpha/f_\text{yd}=72{,}8\cdot\sin56{,}5\degree/435\space000=0{,}00014\text{ m}^2
\end{gathered}

navržen 1x třmen ø12 (226 mm²).

Vodorovná výztuž nad otvorem:

\begin{gathered}
A_\text{sH}=2T\cdot\cos\alpha/f_\text{yd}=72{,}8\cdot\cos56{,}5/435\space000=0{,}000092\text{ m}^2
\end{gathered}

navrženy 2xø10 (314 mm²).

Obr. 6.33  Návrh vyztužení oblasti kolem malého kruhového prostupu

6.9.2 Příklad velkého prostupu 1

Průvlak T-průřezu s celkovou výškou 1,0 m, tloušťka desky 200 mm a šířkou horní příruby 600 mm, šířka stojiny je 300 mm. Ve více namáhaném okraji prostupu je namáhání ohybovým momentem M_Ed = 300 kNm a posouvající silou V_Ed = 300 kN. Průvlak je vyroben z betonu C40/50, použitá betonářská výztuž B500B, rameno vnitřních sil z = 0,90 m. V průvlaku je obdélníkový prostup podle obr. 6.34. Dolní výztuž průvlaku je 4ø28, betonové krytí třmínků je 25 mm.

Rozhodující vnitřní síly pro návrh oblasti jsou obvykle uvažovány v místě nulového momentu na horním (dolním) pasu. Pro zjednodušení se předpokládá, že na horní pas nepůsobí nad prostupem žádné zatížení. Vzhledem k tomu, že na začátku výpočtu není známa poloha nulového momentu na pasech, vychází se z vnitřních sil na více namáhaném okraji prostupu. Rozhodující ohybový moment se upraví po dopočtení polohy nulového bodu.

Materiály

Beton C40/50:

\begin{gathered}
f_\text{cd}=26{,}67\text{ MPa};\space\alpha_\text{cc}=1{,}0;\space\varepsilon_\text{cu3}=3{,}5\space‰;\space\eta=1{,}0;\space\lambda=0{,}8;\space v'=(1-f_\text{ck}/250)=0{,}84
\end{gathered}

Styčník s táhlem CCT:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}85v'\cdot f_\text{cd}=19{,}04\text{ MPa}
\end{gathered}

Vzpěra s příčnými tahy:

\begin{gathered}
\sigma_\text{Rd,max}=0{,}6v'\cdot f_\text{cd}=0{,}6\cdot0{,}84\cdot26{,}67=13{,}44\text{ MPa}
\end{gathered}

Výztuž B500B:

\begin{gathered}
f_\text{yd}=\frac{f_\text{yk}}{\gamma_\text{s}}=\frac{500}{1{,}15}=435\text{ MPa};\space\varepsilon_\text{yd}=\frac{f_\text{yd}}{E_\text{s}}=\frac{435}{200}=2{,}175\space‰
\end{gathered}

Geometrie oblasti

Obr. 6.34 Geometrie oblasti s prostupem

Návrh výztuže

Rozdělení ohybového momentu a posouvajících sil do horního a dolního pasu. Pro zjednodušení budeme předpokládat, že rameno vnitřních sil celého průvlaku je z = 0,9h = 0,9 m a ramena vnitřních sil jednotlivých pasů jsou z_d= 0,8 ∙ h_d = 0,8 ∙ 0,25 = 0,20 m, z_d= 0,8 ∙ h_d = 0,8 ∙ 0,35 = 0,28m. Ramena normálových sil v jednotlivých pasech z_dN = 0,5z_d = 0,10 m a z_hN = 0,5_zh = 0,14 m. Vzdálenost mezi těžištěm horního a dolního pasu je z_ot = 1,0 – 2 ∙ 0,025 – 0,10 – 0,14 = 0,71 m. V dolním pasu budeme předpokládat sklon tlačené diagonály θ_d = 45° a horního pasu θ_h = 30°.

\begin{gathered}
A_\text{h}=0{,}165\text{ m}^2,\space A_\text{d}=0{,}075\text{ m}^2,\space I_\text{h}=0{,}001504\text{ m}^4\space\space\text{a}\space\space I_\text{d}=0{,}000391\text{ m}^4
\end{gathered}

Rozdělení vnitřních sil do dolního a horního pasu

Nejprve rozdělíme posouvající sílu do dolního a horního pasu:

\begin{gathered}
V_\text{Ed,d}=V_\text{Ed}\frac{\sqrt{A_\text{d}I_\text{d}}}{\sqrt{A_\text{h}I_\text{h}}+\sqrt{A_\text{d}I_\text{d}}}=0{,}256\cdot V_\text{Ed}=76{,}8\text{ kN}\space\space\text{a}\space\space V_\text{Ed,h}=V_\text{Ed}-V_\text{Ed,d}=223{,}2\text{ kN}
\end{gathered}

Dále stanovíme nulový bod x (vzdálenost od okraje prostupu) horního pasu pomocí zjednodušeného vztahu.

Pro poměr h_ot/h = 0,40 ≤ 0,5 platí vztah:

\begin{gathered}
x=\bigg(\frac{1}{2}-\frac{M_\text{Ed}}{37\cdot|V_\text{Ed}|\cdot I_\text{ot}}\bigg[\frac{\text{max}(h_\text{h}{;}h_\text{d})}{\text{min}(h_\text{h}{;}h_\text{d})}\bigg]^3\bigg)\cdot I_\text{ot}=\bigg(\frac{1}{2}-\frac{300}{37\cdot300\cdot0{,}8}\bigg[\frac{0{,}350}{0{,}250}\bigg]^3\bigg)\cdot0{,}8=0{,}33\text{ m}
\end{gathered}

Návrhové ohybové momenty horního a dolního pasu v místě vetknutí:

\begin{gathered}
M_\text{Ed,h}=\text{max}[V_\text{Ed,h}\cdot x;V_\text{Ed,h}\cdot(I_\text{ot}-x)]=\text{max}[223{,}2\cdot0{,}33{;}223{,}2\cdot(0{,}8-0{,}33)]=105\text{ kN}\\\\
M_\text{Ed,d}=\text{max}[V_\text{Ed,d}\cdot x;V_\text{Ed,d}\cdot(I_\text{ot}-x)]=\text{max}[76{,}8\cdot0{,}33{;}76{,}8\cdot(0{,}8-0{,}33)]=36{,}1\text{ kN}
\end{gathered}

Návrhové normálové síly z nahrazení momentu M_Ed dvojicí vnitřních sil:

\begin{gathered}
N_\text{Ed,h}=-\frac{M_\text{Ed}}{z_\text{ot}}=\frac{300}{0{,}71}=-422{,}5\text{ kN}\space\space\text{a}\space\space N_\text{Ed}=\frac{M_\text{Ed}}{z_\text{ot}}=\frac{300}{0{,}71}=422{,}5\text{ kN}
\end{gathered}

V horním i dolním pasu navrhneme výztuž standardním postupem podle ČSN EN 1992-1-1 jako u B – oblastí.

Stanovení sil v jednotlivých táhlech a vzpěrách

Síly v horním A₁ a dolním pasu A₂

\begin{gathered}
A_1=\frac{-M_\text{Ed,h}-N_\text{Ed,h}\cdot z_\text{hN}}{z_\text{h}}+\frac{|V_\text{Ed,h}|}{\tan\theta_\text{h}}=\frac{105+422{,}5\cdot0{,}14}{0{,}28}+\frac{223{,}2}{0{,}577}=184\text{ kN}\\\\
A_2=\frac{M_\text{Ed,d}+N_\text{Ed,d}\cdot z_\text{dN}}{z_\text{d}}+\frac{|V_\text{Ed,d}|}{\tan\theta_\text{d}}=\frac{36{,}1+422{,}5\cdot0{,}10}{0{,}20}+\frac{76{,}8}{1{,}0}=391{,}8\text{ kN}\\\\
T_\text{h}'=\frac{|223{,}2|}{0{,}28\cdot1{,}73}=460{,}8\text{ kN}\space\space\text{a}\space\space T_\text{d}'=\frac{|76{,}8|}{0{,}20\cdot1{,}0}=384\text{ kN}
\end{gathered}

Svislé táhlo T₁

\begin{gathered}
T_1=T_\text{1V}+T_\text{1M}+T_\text{1N}\\
\text{kde}\\
T_\text{1M}=-\frac{1{,}3A_1\cdot h_\text{h}\cdot h_\text{d}+1{,}6A_2\cdot h_\text{d}(0{,}8h_\text{h}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}=\frac{1{,}3\cdot184\cdot0{,}35\cdot0{,}25+1{,}6\cdot392\cdot0{,}25\cdot(0{,}8\cdot0{,}35+1{,}1\cdot0{,}4)}{0{,}7\cdot1^2+0{,}35\cdot1}=127{,}5\text{ kN}\\\\
T_\text{1N}=N\frac{z_\text{hN}z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}=0\space\space\text{a}\space\space T_\text{1v}=|V_\text{Ed,d}|=300\text{ kN}\\\\
T_1=T_\text{1V}+T_\text{1M}+T_\text{1N}=300+127{,}5+0=427{,}5\text{ kN}
\end{gathered}

Svislé táhlo T₂

\begin{gathered}
T_2=T_\text{2V}+T_\text{2M}+T_\text{2N}=223{,}2+105{,}3+0=328{,}5\text{ kN}\\
\text{kde}\\
T_\text{2M}=\frac{1{,}3A_2\cdot h_\text{h}\cdot h_\text{d}+1{,}6A_1\cdot h_\text{h}(0{,}8h_\text{d}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}=\frac{1{,}3\cdot392\cdot0{,}35\cdot0{,}25+1{,}6\cdot184\cdot0{,}35\cdot(0{,}8\cdot0{,}25+1{,}1\cdot0{,}4)}{0{,}7\cdot1^2+0{,}35\cdot1}=105{,}3\text{ kN}\\\\
T_\text{2N}=-N\frac{z_\text{hN}z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}=0\space\space\text{a}\space\space T_\text{2v}=|V_\text{Ed,h}|=223{,}2\text{ kN}
\end{gathered}

Návrh výztuže táhel

• Na táhlo A₁ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
A_1/f_\text{yd}=184\cdot10^{-3}/435=0{,}000423\text{ m}^2
\end{gathered}

navrhneme výztuž 3ø16…A_s1 = 0,000603 m².

Délka přesahu táhla A₁ od hrany prostupu l_e:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{s}}{f_\text{bd}}=\frac{16}{4}\cdot\frac{435\cdot423/603}{2{,}63}=464\text{ mm}\\\\
l_\text{e}=0{,}6\cdot(h+h_\text{h}+l_\text{bd})=0{,}6\cdot(1+0{,}35+0{,}47)=1{,}092\text{ m}
\end{gathered}

• Na táhlo A₂ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
A_2/f_\text{yd}=392\cdot10^{-3}/435=0{,}000901\text{ m}^2
\end{gathered}

navrhneme výztuž 3ø20…A_s2 = 0,000942 m².

• Na táhlo T₁ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
T_1/f_\text{yd}=427{,}5\cdot10^{-3}/435=0{,}000983\text{ m}^2{....}5\text{x}2\phi12
\end{gathered}

šířka táhla T₁ je 0,9h = 0,90 m.

• Na táhlo T₂ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
T_2/f_\text{yd}=328{,}5\cdot10^{-3}/435=0{,}000755\text{ m}^2{....}4\text{x}2\phi12
\end{gathered}

šířka táhla T₂ je 1,3h_h = 0,455 m.

Obr. 6.35  Návrh výztuže oblasti

6.9.3 Příklad velkého prostupu 2

Průvlak obdélníkového průřezu s výškou 1,0 m a šířkou 0,30 m, M_Ed = 300 kNm, V_Ed = 330 kN, beton C35/45, betonářská výztuž B500, geometrie poruchové oblasti viz obr. 6.36

Obr. 6.36  Příklad 2 velkého prostupu

Pro výpočet je nutné definovat následující parametry:

• úhly sklonu betonových vzpěr θ = 30°, θ_d = 45°, θ_h = 30°, předpoklad cot θ = 1,73;
• rameno vnitřních sil v průvlaku z = 0,85·h = 0,85 m, h_ot = 0,40 m;
• ramena vnitřních sil v horní a dolním pasu kolem otvoru:

\begin{gathered}
z_\text{d}=0{,}8\cdot h_\text{d}=0{,}20\text{ m}\\\\
z_\text{h}=0{,}8\cdot h_\text{h}=0{,}28\text{ m},\space z_\text{dN}=0{,}5\cdot z_\text{d}=0{,}10\text{ m},\space z_\text{hN}=0{,}5\cdot z_\text{h}=0{,}14\text{ m}\\\\
z_\text{ot}=z_\text{dN}+z_\text{hN}+h_\text{ot}=0{,}64.\space\space\text{Součinitel}\space\space\kappa=0{,}70,\space\text{tahové a tlakové složky ze změny polohy horního a dolního pasu se zanedbají.}
\end{gathered}

• Rozdělení posouvající síly do horního a dolního pasu podle vztahu (6.9):

\begin{gathered}
A_\text{d}=0{,}075\text{ m}^2,\space A_\text{h}=0{,}105\text{ m}^2,\space I_\text{d}=0{,}000391\text{ m}^4\space\text{a}\space I_\text{h}=0{,}001072\text{ m}^4\\\\
\sqrt{A_\text{d}\cdot I_\text{d}}/(\sqrt{A_\text{d}\cdot I_\text{d}}+\sqrt{A_\text{h}\cdot I_\text{h}})=0{,}338,V_\text{Ed,d}=300\cdot0{,}338=101{,}4\text{ kN}\\\\
V_\text{Ed,h}=300-101{,}4=198{,}6\text{ kN}
\end{gathered}

• Stanovení nulového bodu x ohybových momentů podle vztahu (6.15):

\begin{gathered}
h_\text{ot}/h=0{,}4\le0{,}5,\frac{x}{I_\text{ot}}=\frac{1}{2}-\frac{M_\text{Ed}}{37\cdot V_\text{Ed}\cdot I_\text{ot}}\bigg[\frac{\text{max}(h_\text{d}{;}h_\text{h})}{\text{min}(h_\text{d}{;}h_\text{h})}\bigg]^3\\
\text{po dosazení}\\
\frac{x}{0{,}8}=\frac{1}{2}-\frac{300}{37\cdot300\cdot0{,}8}\cdot\bigg[\frac{0{,}35}{0{,}25}\bigg]^3=0{,}41\to x=0{,}41\cdot0{,}8=0{,}33\text{ m}
\end{gathered}

• Návrhové ohybové momenty horního a dolního pasu v místě vetknutí:

\begin{gathered}
M_\text{Ed,h}=\text{max}[V_\text{Ed,h}\cdot x{;}V_\text{Ed,h}\cdot(I_\text{ot}-x)]=\text{max}[198{,}6\cdot0{,}33{;}198{,}6\cdot(0{,}8-0{,}33)]=93{,}3\text{ kN}\\\\
M_\text{Ed,d}=\text{max}[V_\text{Ed,d}\cdot x{;}V_\text{Ed,d}\cdot(I_\text{ot}-x)]=\text{max}[101{,}4\cdot0{,}33{;}101{,}4\cdot(0{,}8-0{,}33)]=47{,}7\text{ kN}
\end{gathered}

• Návrhové normálové síly z nahrazení momentu M_Ed dvojicí vnitřních sil:

\begin{gathered}
N_\text{Ed,h}=-\frac{M_\text{Ed}}{z_\text{ot}}=\frac{300}{0{,}64}=-468{,}8\text{ kN}\space\space\text{a}\space\space N_\text{Ed}=\frac{M_\text{Ed}}{z_\text{ot}}=\frac{300}{0{,}64}=468{,}8\text{ kN}
\end{gathered}

V horním i dolním pasu navrhneme výztuž standardním postupem podle ČSN EN 1992-1-1 jako u B- oblastí (nosníkové oblasti s výše uvedenými sklony tlačených diagonál).

Stanovení sil v jednotlivých táhlech a vzpěrách (obr. 6.29)

Síly v horním A₁ a dolním pasu A₂:

\begin{gathered}
A_1=\frac{-M_\text{Ed,h}-N_\text{Ed,h}\cdot z_\text{hN}}{z_\text{h}}+\frac{|V_\text{Ed,h}|}{\tan\theta_\text{h}}=\frac{-93{,}3+468{,}8\cdot0{,}14}{0{,}28}+\frac{198{,}6}{0{,}577}=245{,}7\text{ kN}\\\\
A_2=\frac{M_\text{Ed,d}+N_\text{Ed,d}\cdot z_\text{dN}}{z_\text{d}}+\frac{|V_\text{Ed,d}|}{\tan\theta_\text{d}}=\frac{47{,}7+468{,}8\cdot0{,}10}{0{,}20}+\frac{101{,}4}{1{,}0}=574{,}3\text{ kN}\\\\
T_\text{h}'=\frac{|198{,}6|}{0{,}28\cdot1{,}73}=409{,}5\text{ kN}\space\space\text{a}\space\space T_\text{d}'=\frac{|101{,}4|}{0{,}20\cdot1{,}0}=507\text{ kN}
\end{gathered}

Svislé táhlo T₁

\begin{gathered}
T_1=T_\text{1V}+T_\text{1M}+T_\text{1N}=300+184{,}1+0=484{,}1\text{ kN}\\
\text{kde}\\
T_\text{1M}=\frac{1{,}3A_1\cdot h_\text{h}\cdot h_\text{d}+1{,}6A_2\cdot h_\text{d}(0{,}8h_\text{h}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}=\frac{1{,}3\cdot245{,}7\cdot0{,}35\cdot0{,}25+1{,}6\cdot574{,}3\cdot0{,}25\cdot(0{,}8\cdot0{,}35+1{,}1\cdot0{,}4)}{0{,}7\cdot1^2+0{,}35\cdot1}=184{,}1\text{ kN}\\\\
T_\text{1N}=N\frac{z_\text{hN}z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}=0\space\space\text{a}\space\space T_\text{1v}=|V_\text{Ed,d}|=300\text{ kN}
\end{gathered}

Svislé táhlo T₂

\begin{gathered}
T_2=T_\text{2V}+T_\text{2M}+T_\text{2N}=198{,}6+146{,}1+0=344{,}7\text{ kN}\\
\text{kde}\\
T_\text{2M}=\frac{1{,}3A_2\cdot h_\text{h}\cdot h_\text{d}+1{,}6A_1\cdot h_\text{h}(0{,}8h_\text{d}+1{,}1h_\text{ot})}{0{,}7h^2+h_\text{h}\cdot h}=\frac{1{,}3\cdot574{,}3\cdot0{,}35\cdot0{,}25+1{,}6\cdot245{,}7\cdot0{,}35\cdot(0{,}8\cdot0{,}25+1{,}1\cdot0{,}4)}{0{,}7\cdot1^2+0{,}35\cdot1}=146{,}1\text{ kN}\\\\
T_\text{2N}=-N\frac{z_\text{hN}z_\text{dN}}{(z_\text{dN}+z_\text{hN})(0{,}9h+1{,}3h_\text{h})}=0\space\space\text{a}\space\space T_\text{2v}=|V_\text{Ed,h}|=198{,}6\text{ kN}
\end{gathered}

Návrh výztuže táhel

Na táhlo A₁ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
A_1/f_\text{yd}=245{,}7\cdot10^{-3}/435=0{,}000565\text{ m}^2
\end{gathered}

navrhneme výztuž 3ø16…A_s1 = 0,000603 m²

Délka přesahu táhla A₁ od hrany prostupu je l_e:

\begin{gathered}
l_\text{bd}=\frac{\phi}{4}\cdot\frac{\sigma_\text{s}}{f_\text{bd}}=\frac{16}{4}\cdot\frac{435\cdot565/603}{2{,}31}=705\text{ mm}\\\\
l_\text{e}=0{,}6\cdot(h+h_\text{h}+l_\text{bd})=0{,}6\cdot(1+0{,}35+0{,}71)=1{,}24\text{ m}
\end{gathered}

• Na táhlo A₂ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
A_2/f_\text{yd}=547{,}3\cdot10^{-3}/435=0{,}001258\text{ m}^2
\end{gathered}

navrhneme výztuž 4ø20…A_s2 = 0,001257 m²

• Na táhlo T₁ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
T_1/f_\text{yd}=484{,}1\cdot10^{-3}/435=0{,}001129\text{ m}^2{....}5\text{x}2\phi12
\end{gathered}

šířka táhla T₁ je 0,9h = 0,90 m,

• Na táhlo T₂ navrhneme výztuž

\begin{gathered}
T_2/f_\text{yd}=344{,}7\cdot10^{-3}/435=0{,}00792\text{ m}^2{....}4\text{x}2\phi12
\end{gathered}

šířka táhla T₂ je 1,3h_h = 0,455 m.

Obr. 6.37  Vyztužení oblasti kolem velkého prostupu

7 RÁMOVÉ ROHY

Rámové rohy jsou nejčastější poruchové oblasti monolitických železobetonových konstrukcí. Jedná se například o spojení mezi průvlakem a sloupem, mezi základovou deskou a stěnou, mezi stěnami nádrží, mezi stěnami komunikačních šachet a podobně. V prefabrikovaných konstrukcích jsou rámové rohy například u zalomených schodišťových ramen (obr. 7.1) a obecně ve všech zalomených prefabrikátech. V rámových rozích neplatí Bernoulliova hypotéza zachování rovinnosti průřezu po deformaci. Pro návrh oblasti používáme modely náhradní příhradoviny.

Obr. 7.1

Z hlediska působení vnitřních sil rozlišujeme rámové rohy s kladným a záporným působením ohybového momentu. Záporný ohybový moment rámový roh uzavírá – vnější líc prvku je tažen a vnitřní líc tlačen (obr. 7.2). Kladný ohybový moment rámový roh rozevírá (obr. 7.3). Vnitřní líc rohu je tažen a vnější líc je tlačen. Velikost poruchové oblasti lze odhadnout na základě Saint Venantovy hypotézy, podle které je délka poruchové oblasti přibližně rovna výšce prvku.

Obr. 7.2  Rámový roh se záporným ohybovým momentem

Obr. 7.3 Rámový roh s kladným ohybovým momentem – způsoby vyztužení

V normě ČSN EN 1992-1-1 [1] jsou v příloze J zobrazeny základní modely náhradní příhradoviny. Podrobnější pravidla pro návrh rámových rohů jsou v předpisu DAfStB 525 [20] a BetonKalender 2001 [7]. Německé předpisy sice vycházejí z DIN 1045-1 [2] v oblasti tvorby modelů náhradní příhradoviny, ale jsou zde uvedena stejná pravidla jako v [1]. Následné posouzení jednotlivých prvků modelu, jako jsou styčníky, tlačené a tažené pruty, je nutné provést v souladu s ČSN EN 1992-1-1 [1].

Modely náhradní příhradoviny vycházejí z možností vyztužení této oblasti a průběhu tlakových napětí v betonové části průřezu. Při návrhu jednotlivých prvků náhradní příhradoviny se vychází z jednotlivých únosností výztuže a betonu. Přitom je nutné u táhel vždy překontrolovat dostatečné zakotvení táhla ve styčníku a navrhnout vždy výztuž na přenesení vznikajících příčných tahů v betonových vzpěrách (viz kap. 1). Pro zjednodušení lze uvažovat, že v betonové vzpěře vznikají příčné tahové síly o velikosti cca 0,22F_c, které působí kolmo na podélnou osu vzpěry vždy ve čtvrtinách délky vzpěry (F_c je tlaková síla v betonové vzpěře – podrobněji viz [24]). Dále jsou uvedeny nejčastější modely jednotlivých typů rámových rohů s kritérii pro jejich vyztužení. Návrhové postupy pro styčníky a pruty modelů náhradní příhradoviny jsou podrobně rozebrány v předcházejících kapitolách.

7.1 RÁMOVÉ ROHY SE ZÁPORNÝM PŮSOBENÍM OHYBOVÉHO MOMENTU

Při působení záporného ohybového momentu vzniká při vnějším líci rohu tah, který je přenášen hlavní výztuží. Tahová výztuž v rohu mění směr, a přitom vznikají diagonální betonové vzpěry. Průběh hlavních napětí v rámovém rohu je na obr. 7.2a, b. Základní model náhradní příhradoviny je na obr. 7.2c. Model lze použít, pokud se výška průřezu sloupu h₂ a příčle h₁ od sebe výrazně neliší (2/3 < h₂/h₁ < 3/2).

Při vyčerpání únosnosti správně vyztuženého průřezu může dojít k následujícím poruchám:

• vyčerpání únosnosti tahové výztuže;
• porušení betonu v tlaku;
• porušení kotevní oblasti výztuže příčnými trhlinami;
• odštěpením povrchové betonové vrstvy.

Tahová výztuž musí být navržena s dostatečným poloměrem vnitřního zakřivení, aby se zabránilo otlačení betonu pod zakřivením výztuže a vzniku příčných tahů, které jsou nebezpečné, zejména pokud je výztuž umístěna poblíž líce betonu. Základní příklady vyztužení jsou na obr. 7.4. U rámového rohu je obvykle nutné řešit i stykování výztuže v pracovní spáře, které bývá pod dolním lícem příčle. U rohu rámové konstrukce je zásada, že ohnutá výztuž ze sloupu může být využita pro přenášení záporného ohybového momentu v příčli – průvlaku, ale nesmí zasahovat z výrobních důvodů příliš daleko od vnitřního líce sloupu. Výztuž z příčle – průvlaku nemůže zasahovat příliš do sloupu (jen na úroveň pracovní spáry), a proto bývá využita jen k přenesení záporného ohybového momentu průvlaku. Zápornou výztuž průvlaku proto kotvíme za úhlopříčkou rámového rohu. Při stykování tahové výztuže přesahem je vhodné podél stykované výztuže doplnit příčnou výztuž podle [1]. Pro napojení hlavní výztuže rohu lze použít i mechanické spojky výztuže [10].

Obr. 7.4  Rámový roh se záporným ohybovým momentem – způsoby vyztužení

Vyztužení smyčkami podle obr. 7.5d se používá především v rozích železobetonových stěn. Pokud jsou výšky příčle h₁ a průřezu sloupu h₂ přibližně stejné (2/3 < h₂/h₁ < 3/2), není nutné podle [1] posouzení třmínkové výztuže; pokud je ohnuta veškerá horní tahová výztuž průvlaku kolem rohu s dostatečným poloměrem ohybu a pokud má výztuž u líce betonu dostatečnou betonovou krycí vrstvu. Vyztužení podle obr. 7.4b a obr. 7.4c je vhodné pro mechanický stupeň vyztužení příčle ω =0,2 až 0,25 a pevnostní třídu betonu C25/30 a vyšší (mechanický stupeň vyztužení je ω = (A_sf_yd)/(A_cf_cd). Vyztužení podle obr. 7.4d je vhodné pro napojení stropní desky na železobetonovou stěnu. Spojení je vhodné pro stupeň příčle vyztužení podélnou výztuží ρ_L ≤ 0,4 % s průměrem podélné výztuže ø_L ≤ d/20 (d je účinná výška průřezu desky).

Obr. 7.5  Rámový roh se záporným ohybovým momentem – způsoby vyztužení

Obr. 7.6  Rámový roh se záporným ohybovým momentem srovnání nelineárního výpočtu s modelem náhradní příhradoviny

Pro návrh oblasti je možné také využít nelineární analýzu. Na obr. 7.6 je srovnání nelineární analýzy (programem ATENA 2D) s běžným modelem náhradní příhradoviny. Pokud je výška příčle h₁ větší než výška průřezu sloupu h₂ (h₂/h₁ ≤ 2/3), je nutné upravit model náhradní příhradoviny v souladu s obr. 7.5. Pro sklon tlačené betonové diagonály θ platí omezení 0,4 ≤ tan θ ≤ 1,0. Kotevní délka táhla T₂ podle obr. 7.5a [1] má být navržena minimálně na sílu ∆T = T₂ – T₁.

Změna směru hlavní tahové výztuže vyvolává kolmo k rovině rámu tahové síly v betonu. Tyto síly jsou nebezpečné u ohybů blízko povrchu betonu, mohou způsobit odštěpení betonu. Velikost příčných tahových sil závisí především na poloměru ohybu hlavní tahové výztuže. Pokud je uvažován konstrukčně minimální poloměr ohybu tahové výztuže, musí být příčné tahové síly zachyceny příčnou výztuží (třmínky) ve vzdálenostech cca 5d_s (d_s je průmět výztužného prutu hlavní tahové výztuže). Proto je vhodné ohýbat hlavní tahovou výztuž s větším vnitřním průměrem ø_m. Doporučená hodnota průměru hlavní tahové výztuže podle [7] je ø_m ≥ 10d_s a betonová krycí vrstva 3 až 5d_s. Uvnitř rámového rohu se někdy provádí drobné zešikmení rohu, které částečně redukuje špičku tlakového napětí.

U rámových rohů s T průřezy nebo u komůrkových průřezů je nutné vždy při návrhu oblasti uvažovat způsob přenosu vnitřních sil mezi stojinou průřezu a tlačenou nebo taženou pásnicí průřezu, kde se poruchová oblast rohu zvětšuje – blíže viz [7]. Pro modelování přenosu sil z pásnic do stojiny průřezu používáme také náhradní příhradovinu.

Příklad nesprávného řešení rámového rohu je na obr. 7.7. Z obrázku je patrné chybné uložení výztuže rámového rohu, jehož důsledkem je nedostatečná únosnost rámového rohu.

Obr. 7.7 

7.2 RÁMOVÉ ROHY S KLADNÝM PŮSOBENÍM OHYBOVÉHO MOMENTU

Kladný ohybový moment otevírá rámový roh. Vnitřní líc rohu je tažen, vnější líc rohu je tlačen. Průběh hlavních napětí v rámovém rohu je na obr. 7.3. Při zatížení rámového rohu kladným momentem vzniká prakticky nezávisle na množství výztuže v průřezu první trhlina, která vychází přímo z rámového rohu a má diagonální směr (trhlina a, viz obr. 7.3). Vzniku trhliny nelze zabránit vložením výztuže. Výztuž totiž musí splňovat požadavky na tloušťku betonové krycí vrstvy podle [1] a první trhlina vzniká právě v betonové krycí vrstvě. Další rozvoj trhliny a a následně vznik dalších trhlin je již závislý na vyztužení D-oblasti. Při malém nebo nesprávném vyztužení oblasti navazuje na trhlinu a šikmá poruchová trhlina b, která má velmi progresivní rozvoj a vede k porušení oblasti. Pokud se vhodným umístěním výztuže potlačí vznik trhliny b, vznikne v tlačené části průřezu poruchová trhlina c. Trhlina c (obr. 7.3) způsobí oddělení tlačené části průřezu. Tím se zmenší rameno vnitřních sil (sníží únosnost průřezu) a dochází k porušení této oblasti. Ovinutím vzpěry třmínky (C₁, C₂ na obr. 7.9) se oslabí vliv trhliny c. K oddělení části tlačeného betonu může pak dojít v betonové krycí vrstvě a v betonu mezi výztuží. Vhodným umístěním výztuže a jejím dostatečným množstvím lze rámový roh vyztužit tak, že porucha nastane vně D-oblasti. Proto, aby bylo možné průřez vyztužit, musí být rámový roh dostatečně robustní. O využití tahové výztuže při vnitřním líci rohu prakticky vždy rozhoduje její možné zakotvení v tlačené části průřezu. U subtilních konstrukcí je dostatečné zakotvení tahové výztuže velmi problematicky proveditelné. K zakotvení této výztuže lze s výhodou použít i přivařené kotevní desky nebo desky speciální.

Obr. 7.8 Rámový roh s kladným ohybovým momentem Modely náhradní příhradoviny podle úrovně namáhání

Dále uvedené modely náhradní příhradoviny rámových rohů vycházejí z předpokladu, že výšky průřezu před a za rámovým rohem jsou přibližně stejné. Na obr. 7.8 jsou nejčastější modely náhradní příhradoviny poruchové oblasti rámového rohu. Nejjednodušší model na obr. 7.8a je vhodný pouze pro málo zatížené a robustní konstrukce. Při vyšším využití rámového rohu je možné dostatečné zakotvení tahové výztuže při vnitřním líci jen pomocí přivařených kotevních desek, nebo pomocí mechanických kotevních spojek [25]. Zpřesněním modelu rámového rohu je možné více využít beton v tlačené vzpěře. Pro model na obr. 7.8b je maximální namáhání v betonové vzpěře 0,75f_cd. Pro přesnější modely na obr. 7.8c, d, které zároveň představují optimální modely oblasti, je maximální namáhání betonové vzpěry 0,85f_cd. Vyšší namáhání v betonové vzpěře je možné pouze, pokud je výška tlačené oblasti x průřezu před rámovým rohem omezena vztahem x ≤ d/4. Na obr. 7.8c jsou stanoveny i velikosti vznikajících příčných tahů T₁ až T₃. Na obr. 7.9 je srovnání nelineární analýzy rámového rohu s kladným působením s modelem náhradní příhradoviny.

Obr. 7.9  Rámový roh s kladným ohybovým momentem srovnání nelineárního výpočtu s modelem náhradní příhradoviny

Na obr. 7.10 jsou příklady vyztužení oblasti. Největším problémem při vyztužování oblasti je možnost dostatečného zakotvení tažené výztuže při vnitřním líci rohu. Tahovou výztuž je třeba zakotvit v tlačeném betonovém pásu při vnějším líci. Výška tlačeného pásu je relativně malá pro dostatečné zakotvení výztuže. Proto se rámové rohy vyztužují smyčkami výztuže při taženém líci rohu ve tvaru podle obr. 7.10a a obr. 7.10e. Smyčky kolmé na tažený líc rohu podle obr. 7.10c, d jsou vhodné spíše pro vyztužení rohů stěn. Smyčka podle obr. 7.10c je však složitější z hlediska přesnosti výroby. Ve vyztužení rámových rohů má velký vliv na únosnost šikmá výztuž, která nejúčinněji zabraňuje dalšímu rozvoji prvotní poruchové trhliny a (obr. 7.3).

Obr. 7.10  Rámový roh s kladným ohybovým momentem – způsoby vyztužení

Rámové rohy jsou i ve spojení stěn např. nádrží, ale vzhledem k menšímu namáhání a stěnovému působení obvykle zde nevznikají poruchové trhliny.

Z porovnání vyztužení rámových rohů na obr. 7.11 vyplývá, že je možné vyztužit rámový roh tak, aby k vyčerpání únosnosti průřezu došlo mimo poruchovou oblast rohu. Na obr. 7.11 je porovnána únosnost získaná z experimentů (převzato z [39]) rámového M_Ru a vypočítaná únosnost rámového rohu M_Rd (únosnost je stanovena jako pro stejně vyztuženou B-oblast) v závislosti na způsobu vyztužení rámového rohu. V grafu na svislé ose je vynesen poměr η = M_Ru/M_Rd, na vodorovné ose pak procento vyztužení ρ průřezu příčle rámového rohu. Z obr. 7.11 je patrné, že se zvyšujícím se vyztužením se u všech modelů snižuje skutečná únosnost průřezu M_Ru ve srovnání s návrhovou únosností M_Rd. Šikmá výztuž (model A) umožňuje plnohodnotné navržení výztuže rámového rohu (do mechanického stupně vyztužení příčle \omega=\frac{A_\text{s}f_\text{yd}}{A_\text{c}f_\text{cd}}\le0{,}2 podle [20]). Místo šikmé výztuže je možné doplnit k tahové výztuži příložky o ploše rovné 50 % staticky nutné tahové výztuže. Pokud pro (geometrický) stupeň vyztužení příčle platí ρ ≤ 0,4 %, není nutné posilovat smyčkové vyztužení rohu podle obr. 7.11d příložkami nebo šikmou výztuží (model B). Model vyztužení G má takřka třetinovou únosnost vzhledem k nedostatečnému zakotvení tahové výztuže a v průřezu zcela chybí výztuž zabraňující vzniku poruchové trhliny b a c podle obr. 7.3c. V typech vyztužení E, F a G není žádná výztuž zachycující vznikající příčné tahy v betonové vzpěře. Proto dochází po vzniku první trhliny k velmi rychlému porušení celého průřezu. Průřez nemá dostatečnou duktilitu.

Obr. 7.11  Srovnání vypočtené a experimentem stanovené únosnosti rámových rohů s kladným ohybovým momentem

U rámových rohů je vhodné vždy navrhnout výztuž pro zachycení příčných tahů v betonové vzpěře ve formě 3 až 4 smyček, nebo použít vícestřižné třmínky (např. obr. 7.10a, b, e). Při posuzování betonové vzpěry je možné započítat pouze průřez betonové vzpěry, který je ovinut výztuží. V betonové vzpěře při vnějším líci nemůže být započtena betonová krycí vrstva do celkové plochy vzpěry, protože při větším namáhání může dojít k jejímu odtržení. Přesněji by se neměla uvažovat krycí vrstva, včetně tloušťky betonu v úrovni příčné výztuže.

U rámových rohů s kladným ohybovým momentem je hlavní tahová výztuž při vnitřním líci rohu. Při vyčerpání únosnosti průřezu může dojít k následujícím poruchám:

• vyčerpání únosnosti tahové výztuže;
• porušení betonu v tlaku v důsledku příčného tahu;
• porušení betonu v tlaku odtržením krycí vrstvy výztuže;
• porušení kotevní oblasti tažené výztuže.

Předcházející modely vycházely z předpokladu, že výšky průřezu před a za rámovým rohem jsou přibližně stejné. Pokud je výška průřezu příčle výrazně větší než výška průřezu sloupu, potom je nutné upravit model náhradní příhradoviny podle obr. 7.12. Spolu s tím je nutné doplnit výztuž podle principů zobrazených na obr. 7.12c.

Obr. 7.12  Rámový roh s kladným ohybovým momentem, Rohy s větší výškou příčle než sloupu, Model náhradní příhradoviny a princip vyztužení

Rámové rohy nemusí mít pravý úhel. Podle obr. 7.13 rozeznáváme rámové rohy pravoúhlé, tupé a ostré. Ostré rámové rohy jsou například u zalomených schodišťových ramen (prefabrikovaných, ale i monolitických). Tupé rámové rohy jsou méně časté. Optimální vyztužení tupého rámového rohu je na obr. 7.14a, odpovídající model oblasti na obr. 7.14b. Pokud není prostor k vytvoření smyček, je možné vyztužit podle obr. 7.14c. Tento způsob vyztužení je však možný pouze pro velmi málo namáhané rámové rohy, protože diagonální tah v rohu přebírá beton (tečkovaně vyznačeno v modelu na obr. 7.14d). Zvláštní pozornost vyžaduje případ, kde kromě momentu působí ještě normálová tahová síla.

Obr. 7.13  Označení rámových rohů

Obr. 7.14  Tupé rámové rohy s kladným ohybovým momentem

Obdobná situace je i u ostrých rámových rohů (obr. 7.15). U ostrého rámového rohu vyztužení podle obr. 7.15a (běžné u zalomených schodišťových ramen), přenáší diagonální tah v rohu beton (na rozdíl od běžných předpokladů tvorby modelů poruchových oblastí, kde nepředpokládáme působení betonu v tahu). Únosnost rámového rohu je velmi omezena únosností tažené betonové diagonály. Poruchová trhlina má průběh jako trhlina b na obr. 7.3. Pokud vložíme do rohu třmínek, únosnost rohu se výrazně nezvýší. Poruchová trhlina se přesouvá do polohy c podle obr. 7.3 a výrazně zmenšuje výšku průřezu. Optimálním vyztužením je zakotvení tahové výztuže smyčkami a vložením šikmé výztuže podle obr. 7.15c.

Obr. 7.15  Ostré rámové rohy s kladným ohybovým momentem

7.3 RÁMOVÉ STYČNÍKY

Rámové styčníky představují obvykle napojení průvlaků (vodorovných trámových prvků) na sloupy (svislé nosné prvky). Spojení je namáháno normálovou silou, posouvající silou a ohybovým momentem. Navíc ve styku bývá pracovní spára. Pokud je nosný systém ztužen rámy, styčníky – rámové rohy musí přenést veškerá vodorovná a stabilitní zatížení. Pokud jsou rámové rohy ve ztuženém nosném systému, nepřenášejí vodorovné účinky zatížení a podílejí se jen na přenášení účinků vertikálních zatížení. Rámové rohy bývají často hodně namáhané, a přitom jsou svým způsobem slabým místem konstrukce. Je nutné si uvědomit, že vlivem trhlin v tažených částech rámového rohu dochází často k výraznému přerozdělení momentů a zvětšení tak momentů v přilehlých polích průvlaků – rámových příčlí. To je zvlášť důležité při rámově ztužených nosných systémech, nebo například u komor sil, kde je třeba navrhnout výztuže ve stěně u obou povrchů. Na obr. 7.16a, b jsou příklady rámů ve ztužených nosných systémech (tedy bez vlivu vodorovného zatížení). Na obr. 7.16c je zobrazen průběh momentů na ztužujícím rámu s vlivem vodorovných účinků zatížení. V průbězích ohybových momentů jsou zobrazeny maximální a minimální hodnoty z výpočtu.

Obr. 7.16  Příklad rámové konstrukce

Na obr. 7.16c je patrna změna tažených vláken u sloupového prvku. To znamená, že rámové styčníky (jako např. všechny prvky s vlivem stability) je nutné vyšetřovat pro všechny rozhodující návrhové kombinace zatížení, nikoliv jen pro výsledné obálky vnitřních sil. Pro některé návrhové kombinace zatížení může být nutné vytvořit jiný model náhradní příhradoviny.

7.3.1 Rámový styčník – sloup se spojitou příčlí

Rámové rohy jsou ve spojení sloupu a příčle. Na obr. 7.17 jsou uvedeny modely náhradní příhradoviny pro spojitou rámovou příčel, spojenou se sloupem při různých kombinacích vnitřních sil. K modelu je schematicky nakresleno doporučené vyztužení oblasti. Pokud je styk sloupu s příčlí celý tlačený (obr. 7.17a), postačuje zakotvit výztuž sloupu na kotevní délku v průřezu příčle. Pro zakotvení pozitivně působí tlačená oblast přilehlé příčle. Pokud ve styku sloupu a příčle vznikají tahy, je nutné upravit model náhradní příhradoviny podle obr. 7.17b až obr. 7.17d. Pro zakotvení tažené výztuže sloupu bývá výška průřezu nedostatečná a je nutné zakotvit výztuž smyčkou nebo ohybem obr. 7.17c, d, případně lze použít přivařených kotevních desek nebo speciálních mechanických kotevních spojek [25]. Při ohybu tažené výztuže vznikají příčné tahy, které je nutné zachytit třmínky příčle – doplněním třmínků i do oblasti přímo nad sloupem. Při velkém momentovém namáhání styku sloupu s příčlí (obr. 7.17d) je možné dostatečné zakotvení výztuže ohnutím výztuže do tažené příčle při jejím horním líci.

Poznámka:
Pokud ve styčníku mohou vzniknout ohybové trhliny, nelze dimenzovat výztuž příčle na ohybový moment redukovaný do líce podpory.

Obr. 7.17  Styčník sloupu s průběžnou rámovou příčlí modely a principy vyztužení

7.3.2 Rámový styčník průběžného sloupu s příčlí

Pro rámové styčníky krajních průběžných sloupů obecně platí, že tlačená a tažená oblast sloupu se pod styčníkem mění (obr. 7.18a, obr. 7.19). Změna vyvolává vodorovné tahy ve střední části výšky příčle (označené T). Vzniklé tahy je nutné zakotvit v oblasti, kde je zároveň kotvena tahová výztuž příčle. Podrobnější model na obr. 7.19 lépe dokládá vznik tažené oblasti přibližně ve středu výšky příčle. Vodorovná výztuž navržená na vzniklé tahy T zároveň musí přenést i vznikající příčné tahy z tlačené betonové diagonály C. Podle obr. 7.18a v rámovém rohu působí posouvající síla V_jh. Při posouzení únosnosti průřezů se obdobně jako u nosníkových průřezu rozlišuje průřez bez třmínkové (smykové) výztuže a s třmínkovou výztuží [20].

• Únosnost styčníku bez třmínkové výztuže podle [20] (deskové a stěnové rohy):

\begin{gathered}
V_\text{j,cd}=1{,}4\bigg(1{,}2-0{,}3\frac{h_\text{b}}{h_\text{c}}\bigg)b_\text{eff}h_\text{c}f_\text{cd}^{1/4}
\end{gathered}

(7.1)

• Únosnost styčníku se třmínkovou výztuží podle [20]:

\begin{gathered}
V_\text{j,Rd}=V_\text{j,cd}+0{,}4A_\text{sj,eff}f_\text{yd}\le2V_\text{j,cd}\space\space\text{a současně}\space\space V_\text{j,Rd}\le\gamma_\text{N}0{,}25f_\text{cd}b_\text{eff}h_\text{c}
\end{gathered}

(7.2)

kde je

h_c, b_c … výška, šířka průřezu sloupu;

h_b, b_b … výška, šířka průřezu nosníku – příčle;

A_sj,eff … plocha vodorovných třmínků v oblasti mezi tlačenou oblastí příčle a horním lícem styčníku;

N_Ed,c … návrhová hodnota normálové síly ve sloupu v rámovém rohu;

b_eff … efektivní šířka styčníku b_eff = (b_c+b_b)/2 ≤ b_c;

γ_N … vliv normálové síly ve sloupu a štíhlosti styčníku γ_N = γ_N1 ∙ γ_N2.

\begin{gathered}
\gamma_\text{N1}=1{,}5\bigg(1-0{,}8\frac{N_\text{Ed,c}}{A_\text{c,c}\cdot f_\text{ck}}\bigg)\le1{,}0\space\space\text{a}\space\space\gamma_\text{N2}=1{,}9-0{,}6h_\text{b}/h_\text{c}\le1{,}0
\end{gathered}

(7.3)

Doporučené vyztužení je na obr. 7.18c.

Obr. 7.18 Rohový styčník sloupu a rámové příčle

Obr. 7.19  Rohový styčník sloupu s rámovou příčlí vyšší výšky

7.3.3 Rámový styčník – průběžný sloup se spojitou příčlí

Pro rámové styčníky s průběžnou příčlí i průběžným sloupem jsou modely náhradní příhradoviny znázorněné na obr. 7.20. Navržená výztuž podle obr. 7.20a není vhodná. Výztužné pruty sloupu jsou kotveny přímo v oblasti rámového rohu. V diagonálách styčníku se koncentrují velké síly, zvětšené o síly ze zakotvení podélné výztuže. Taženou diagonální výztuž je velmi obtížné dostatečně zakotvit. Možným řešením je ohnout podélnou taženou výztuž sloupu do příčle podle obr. 7.18b. Lépe je protáhnout výztuž sloupu styčníkem a kotvit ji až za oblastí rámového rohu obr. 7.18c. Návrh příložek výztuže příčle a sloupu podle [2] je na obr. 7.18c.

Pro rámové rohy nejsou v ČSN EN 1992-1-1 [1] další pravidla. Podrobnější pravidla pro vyztužení sloupů lze najít v DAfStB 525 [20].

Obr. 7.20 Styčník průběžného sloupu s průběžnou rámovou příčlí modely a principy vyztužení

U rámových styčníků vnitřních sloupů ztužených nosných systémů, kde veškeré vodorovné zatížení přebírají ztužující systémy, lze rámové působení zanedbat (zanedbat přenos ohybového momentu z příčle do sloupu – uvažovat kloubové uložené příčle na sloupu), pokud pro sousední pole příčlí platí poměr 0,5 < l₀,₁/l_0,2 < 2,0 (podle [20]). U ostatních styčníků, kde pro poměr výšky průřezů sloupu a příčlí platí 1,0 ≤ h_b/h_c ≤ 1,5, je nutné posoudit únosnost podle vztahu:

\begin{gathered}
V_\text{jh}=(|M_\text{b,1}|+|M_\text{b,2}|)/z_\text{b}-|V_\text{c}|\le\gamma_\text{N}0{,}25f_\text{cd}b_\text{eff}h_\text{c}
\end{gathered}

(7.4)

kde je

M_nos,1, M_nos,2 … jsou antisymetrické ohybové momenty příčlí 1 a 2;

b_eff … šířka sloupu v úrovni styčníku;

γ_N … vliv normálové síly ve sloupu a štíhlosti styčníku.

\begin{gathered}
\gamma_\text{N1}=1{,}5\bigg(1-0{,}8\frac{N_\text{Ed,c}}{A_\text{c,c}\cdot f_\text{ck}}\bigg)\le1{,}0
\end{gathered}

Pro rámové styčníky platí následující doporučení:

• podélná výztuž sloupu musí být přímá a procházet spojitě celou oblastí;
• u nosných neztužených rámových soustav je doporučeno zvýšit plochu podélné výztuže sloupu v D-oblasti. Takto doplněná výztuž musí být dostatečně zakotvena za D-oblastí.

V příčlích a ve sloupech je nutné v oblasti délky většího rozměru sloupu doplnit příčnou třmínkovou výztuž ve vzdálenostech 0,6násobku vzdálenosti třmínků ve sloupech, pokud není v důsledku stykování výztuže ve sloupu požadována oblast větší.

7.3.4 Zalomené nosníky

Zalomené nosníky, desky se používají například pro schodišťová ramena, viz obr. 7.21. Po celé délce zalomené desky schodišťového ramene jsou rámové rohy s kladným i záporným působením ohybového momentu. Poruchové oblasti rámových rohů bezprostředně na sebe navazují. Vyztužení oblasti je možné pouze na sebe navazujícími třmínky a šikmou výztuží. (obr. 7.21). Estetický tvar prefabrikátu schodišťové desky je vykoupen velmi komplikovanou a náročnou výztuží.

Obr. 7.21  Příklad řešení rámových roh

7.4 PRINCIPY VYZTUŽENÍ RÁMOVÝCH ROHŮ

Rámové rohy a styčníky rámů jsou oblasti, které velmi často rozhodujícím způsobem ovlivňují chování celých konstrukcí, proto je nutné věnovat návrhu poruchových oblastí rámových rohů dostatečnou pozornost. V oblasti rámového rohu a rámových styčníků je nutné umístit nosnou a konstrukční výztuž, odpovídající modelu náhradní příhradoviny. Ve všech navazujících prvcích (sloupech a příčlích) je vhodné doplnit konstrukční výztuž v oblasti přechodu poruchové oblasti a běžné nosníkové (sloupové) oblasti. Ve všech rozích s kladným ohybovým momentem je doporučeno vkládat šikmou výztuž k omezení vznikající poruchové trhliny a k posílení duktility oblasti.

Při návrhu konstrukce s rámovými rohy je vhodné uvažovat s možným přerozdělením ohybových momentů. Vlivem trhlinami oslabeného průřezu rámového rohu dochází k nárůstu ohybového momentu v přilehlém poli. Tento nárůst momentů v přilehlém poli může být přibližně až 30 % [7]. Zároveň je třeba mít na paměti, že pokud ve styčníku vzniknou trhliny, není možné redukovat ohybové momenty k líci podpory.

Při návrhu poruchové oblasti rámového rohu je také nutné po dokončení výpočtu a nakreslení výztuže ověřit předpokládanou geometrii modelu náhradní příhradoviny.

8 STĚNOVÉ KONSTRUKCE

Stěnové nosníky jsou vysoké nosníky, pro něž trojnásobek výšky h průřezu je větší než rozpětí nosníku l (3h ≥ l). V odborné literatuře se někdy uvádí hranice mezi nosníkem a stěnovým nosníkem od poměru 2,0 (2,0 pro prosté stěnové nosníky a 2,5 pro spojité stěnové nosníky) pro zatížení osamělými břemeny až po 5,0 (5h ≥ l) pro zatížení rovnoměrným spojitým zatížením. U stěnových nosníků neplatí Bernouliova hypotéza o zachování rovinnosti průřezu po deformaci, která je základním předpokladem při řešení nosníků jako jednorozměrných prvků. Stěnové nosníky jsou dvourozměrné prvky. Na obr. 8.1 je schematicky zobrazen rozdíl v průběhu napětí mezi nosníkem (l/h >> 2) a stěnovým nosníkem o různých výškách průřezu. U nosníku dochází k zakřivenému průběhu vodorovných napětí σ_x již při poměru h/l = 0,4 až 0,5.

Stěnové nosníky jsou dnes častými konstrukcemi v pozemních stavbách, kdy nad volnou dispozici např. garážových prostor navazuje stěnový nosný systém vyšších podlaží. Se stěnovými nosníky se setkáme v průmyslových stavbách a v mostních konstrukcích.

Obr. 8.1  Nosník a stěnový nosník – průběhy napětí

Charakteristické vlastnosti stěnových nosníků

• Průběh napětí v tahu je po celé délce rozpětí přibližně stejný, tzn. hodnota tahového napětí ve spodních vláknech průřezu ve středu rozpětí se jen velmi málo liší od hodnoty u podpory obr. 8.2.
• Maximální hodnota tahového napětí průřezu je značně rozdílná od maximální hodnoty tlakového napětí.
• Vzhledem k chování železobetonu je celý stěnový nosník poruchovou D-oblastí (obr. 8.2).
• U stěnových nosníků nelze zanedbat smykové deformace.

Obr. 8.2  Stěnový nosník – lineární a nelineární model

Stěnové nosníky jsou moderní nosné prvky i v pozemních stavbách. Pro jejich návrh je vhodné použít modely náhradní příhradoviny. Pro stěnové konstrukce s konstantní tloušťkou stěny a bez větších otvorů lze použít zjednodušené vzorce přímo pro návrh jednotlivých prvků modelu náhradní příhradoviny. Pro složitější stěnové nosníky s proměnnou tloušťkou oblasti, se ztužujícími okraji nebo s většími otvory je nutno vytvořit speciální model náhradní příhradoviny za pomoci výsledků lineárně pružného 2D výpočtu metodou konečných prvků. Stěnové nosníky lze řešit i nelineární metodou konečných prvků, u nelineárního řešení je nutné vždy kontrolovat mezní stav použitelnosti. Stěžejním místem návrhu stěnových nosníků je vždy řešení táhel, jejich zakotvení a řešení styčníků. Každý stěnový nosník musí být při obou lících vyztužen minimálně konstrukční výztuží, včetně příčných spon. Principy vyztužení stěnového nosníku jsou na obr. 8.3.

Obr. 8.3  Stěnový nosník – principy vyztužení

8.1 MODELOVÁNÍ STĚNOVÝCH KONSTRUKCÍ

Stěnový nosník je rovinný prvek. Pro jeho řešení máme k dispozici lineární a nelineární metody založené na FEM a metodu náhradní příhradoviny. Podle normy [2] a [19] lze provést výpočet podle plasticity pro stěny bez nutnosti posoudit dostatečnou rotační kapacitu průřezu i pro výztuž s duktilitou A. V ČSN EN 1992-1-1 [1] není k výpočtu stěn podle teorie plasticity uvedeno nic bližšího. Stěnovým nosníkům je věnován např. předpis [18] a [7]. Na obr. 8.2 je znázorněn rozdíl mezi lineárně pružným modelem a nelineárním modelem stěnového nosníku (prostý nosník). Při nelineárním modelu se v důsledku vzniku trhlin posunuje tlačená část k hornímu okraji nosníku a zvětšuje se rameno vnitřních sil z. Tím se zmenšuje staticky nutná dolní tahová výztuž. Na druhé straně snižováním množství tahové výztuže roste šířka trhlin. Proto je doporučeno při modelování oblasti vycházet spíše z lineárních modelů. Lineární 2D modely stěnových nosníků slouží obvykle jako podklad pro tvorbu modelů náhradní příhradoviny. Na základě průběhu hlavních napětí lze odvodit optimální model náhradní příhradoviny. U všech modelů musí být vždy splněna stejná podmínka celkové rovnováhy nosníku. Z modelů náhradní příhradoviny je patrné, že táhlo, představující dolní taženou výztuž, je plně využito po celé délce mezi styčníky nad podporami. Proto musí být veškerá spodní výztuž stěn vždy na celé rozpětí a zakotvena nad podporou. Spodní výztuž stěny umísťujeme do výšky 0,1k až 0,20k (k je menší z rozměrů stěny – výšky h a rozpětí l), nikoli tedy jen při spodním líci, což odpovídá průběhu tahových napětí. Redukuje se tímto také šířka trhlin. Principy vyztužení prostě uloženého stěnového nosníku jsou na obr. 8.3. U podpor se přidává svislá a vodorovná výztuž (položky 3 a 4 na obr. 8.3) s ohledem na rozptyl sil (příčné tahy) v tlačených prutech směřujících k podporám. U stěnových nosníků je nutné vždy překontrolovat také podmínky maximálního napětí ve styčné spáře s podporující konstrukcí.

U stěnových nosníků s konstantní tloušťkou stěny a bez velkých otvorů není nutné posuzovat napětí v tlačených betonových vzpěrách, protože pro návrh jsou rozhodující styčníky, táhla a zakotvení táhel ve styčnících.

8.2 JEDNODUCHÉ STĚNOVÉ KONSTRUKCE

8.2.1 Prostý stěnový nosník přímo zatížený

Přímo zatížený nosník je zatížený při horním líci. Průběh napětí v prostém stěnovém nosníku je na obr. 8.4. Trajektorie tlakových napětí probíhají strmě k podporám, tahové trajektorie jsou k nim kolmé, nejsou tedy příliš skloněny směrem k podporám jako u běžných nosníků. Proto vznikají především svislé trhliny. Nebezpečí porušení vzniká především u podpor, kde zakotvení výztuže a velký podporový tlak vyvozuje velké místní namáhání (proto je nutné tyto oblasti patřičně vyztužit viz obr. 8.4). Průběh vodorovných napětí σ_x je v celém rozpětí prakticky stejný. Průběh svislých napětí σ_y se po výšce mění v závislosti na poloze a charakteru zatížení (zatížení na dolním nebo při horním povrchu). Přibližně lze stanovit hlavní tahovou sílu v poli pomocí analogie s nosníkem při redukovaném ramenu vnitřních sil. Tahovou sílu T v poli lze vyjádřit vztahem:

\begin{gathered}
T=M_\text{Ed}/z
\end{gathered}

(8.1)

kde je

M_Ed … ohybový moment stanovený na nosníkové analogii;

z … rameno vnitřních sil.

\begin{gathered}
z=0{,}3h(3-h/l)\space\text{ pro }\space0{,}5\le h/l\le1{,}0
\end{gathered}

(8.2)

\begin{gathered}
\text{a}\space\space z=0{,}6l\space\space\text{pro}\space\space h/l>1{,}0
\end{gathered}

(8.3)

kde je

l … rozpětí stěnového nosníku;

h … celková výška průřezu stěnového nosníku.

Obr. 8.4  Prostý stěnový nosník přímo zatížený rovnoměrným zatížením

Uvedené hodnoty odpovídají lineárnímu modelu podle obr. 8.2 a obr. 8.4. Na obr. 8.4 je zobrazena velikost vnitřních sil v táhlech a vzpěrách v závislosti na poměru výšky průřezu h k rozpětí l. Při poměru h/l ≥ 1 lze uvažovat rameno vnitřních sil z = 0,6l a sklon tlačených diagonál θ ≈ 68,5°. V horním tlačeném pasu je napětí v betonu v tlaku rovno 0,35q/b (při výšce tlačené oblasti 0,6l), přitom při horním líci je v úrovni zatížení svislé tlakové napětí q/b. Napětí v betonové vzpěře C₂ není tedy pro návrh rozhodující. Pro návrh oblasti je rozhodující síla v táhle T při spodním líci, včetně jejího zakotvení ve styčnících nad podporou a řešení styčníků. Přesnější vyjádření vnitřních sil je v tab. 8.1.

8.2.2 Prostý stěnový nosník zatížený osamělým břemenem

Průběh napětí ve stěnovém nosníku zatíženém osamělým břemenem je na obr. 8.5. Průběh vodorovných napětí σ_x se po délce rozpětí mění především v horních vláknech. Pro stěnový nosník jsou modely náhradní příhradoviny na obr. 8.5. Pro velmi vysoké nosníky lze v části výšky průřezu uvažovat oblast B – viz obr. 8.6 (podle Saint Venantovy hypotézy je délka poruchové oblasti rovna výšce průřezu). Závislost velikosti vnitřních sil na zatěžovací síle a poměru výšky průřezu k rozpětím je na obr. 8.5. Tahová síla T₁ při spodních vláknech průřezu je pro nosníky s poměrem h/l ≥ 1,5 rovna 0,2F. Přesnější vyjádření vnitřních sil je v tab. 8.1.